Reconnaissant variables habituelles: distribution normale
En économétrie, une variable aléatoire avec une distribution normale a une fonction de densité de probabilité qui est continue, symétrique, et en forme de cloche. Bien que de nombreuses variables aléatoires peuvent avoir une distribution en forme de cloche, la fonction de densité de distribution normale est une précisément
où
représente la moyenne de la variable aléatoire normalement distribué X,
est l'écart-type, et
représente la variance de la variable aléatoire normalement distribué.
Un raccourci pour indiquer qu'une variable aléatoire, X, a une distribution normale est pour écrire
Un trait distinctif d'une distribution normale est la probabilité (ou densité) associé à des segments spécifiques de la distribution. La distribution normale dans la figure est divisé en intervalles les plus courants (ou segments): un, deux, et trois écarts-types de la moyenne.
Avec une variable aléatoire distribuée normalement, environ 68 pour cent des mesures sont dans un écart type de la moyenne, 95 pour cent sont dans les deux écarts-types, et 99,7 pour cent sont dans les trois écarts-types.
Supposons que vous disposez de données pour l'ensemble de la population de personnes vivant dans des maisons de retraite. Vous découvrirez que l'âge moyen de ces personnes est de 70, la variance est 9
et la distribution de leur âge est normal. Utilisation de la sténographie, vous pouvez simplement écrire cette information
Si vous sélectionnez au hasard une personne de cette population, quelles sont les chances qu'il ou elle est de plus de 76 ans?
Utilisation de la densité d'une distribution normale, vous savez qu'environ 95 pour cent des mesures sont entre 64 et 76
(notez que 6 est égale à deux écarts-types). Le 5 pour cent restants sont des personnes qui ont moins de 64 ans ou plus de 76. En raison d'une distribution normale est symétrique, vous pouvez conclure que vous avez sur un 2,5 pour cent (5% / 2 = 2,5%) chance que vous sélectionnez au hasard quelqu'un qui est plus de 76 ans d'âge.
Si une variable aléatoire est une combinaison linéaire d'une autre variable aléatoire normalement distribué (s), il a également une distribution normale.
Supposons que vous ayez deux variables aléatoires décrites par ces termes:
En d'autres termes, variable aléatoire X a une distribution normale avec une moyenne de
et la variance de
et variable aléatoire Y a une distribution normale avec une moyenne de
et une variance de
Si vous créez une nouvelle variable aléatoire, W, comme la combinaison linéaire suivante de X et Y, W = aX + PAR, puis W a également une distribution normale. En outre, en utilisant les propriétés de valeur et variance attendue, vous pouvez décrire la nouvelle variable aléatoire avec cette notation abrégée:
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