Comment résoudre des systèmes linéaires en utilisant la substitution ou l'élimination

Lors de la résolution de systèmes linéaires, vous disposez de deux méthodes - substitution ou l'élimination - à votre disposition, et celle que vous choisissez dépend du problème. Si le coefficient d'une variable est de 1, ce qui signifie que vous pouvez facilement résoudre pour elle en termes de l'autre variable, puis la substitution est un très bon pari. Si tous les coefficients sont autre que 1 quoi que ce soit, vous pouvez alors utiliser l'élimination, mais seulement si les équations peuvent être ajoutés ensemble pour faire de l'une des variables disparaissent.

Comment faire pour résoudre les systèmes linéaires avec la méthode de substitution

Dans le Procédé de substitution, vous utilisez une équation à résoudre pour une variable puis remplacer cette expression dans l'autre équation à résoudre pour l'autre variable. Pour commencer le plus simple, pour trouver une variable avec un coefficient de 1 et de résoudre pour elle. Vous avez juste à ajouter ou soustraire des termes afin de passer tout de l'autre côté du signe égal, tout comme vous le feriez normalement pour résoudre pour les variables. De cette façon, vous aurez pas à diviser par le coefficient lorsque vous résoudre, ce qui signifie que vous aurez pas de fractions (sauf si il ya déjà des fractions pour commencer).

Par exemple, supposons que vous gériez un théâtre et vous avez besoin de savoir comment de nombreux adultes et les enfants sont présents à un spectacle. L'auditorium est épuisé et contient un mélange d'adultes et d'enfants. Les billets coûtent 23,00 $ par adulte et 15,00 $ par enfant. Si l'auditorium dispose de 250 sièges et le chiffre d'affaires total de billets pour l'événement est 4,846.00 $, combien d'adultes et d'enfants sont présents?

Pour résoudre le problème avec la méthode de substitution, suivez ces étapes:

1. Exprimez le problème de mot comme un système d'équations.

   Vous voulez résoudre pour combien de billets pour adultes (un) Et les billets de l'enfant (c) tu as vendu. Si l'auditorium dispose de 250 sièges et a été vendu, la somme des billets adultes et billets d'enfant doit être 250.

   Les prix des billets vous conduisent également à des revenus (ou mandat) de l'événement. Les temps adultes du prix des billets le nombre d'adultes présents vous permet de savoir combien d'argent vous avez fait des adultes. Vous pouvez faire le même calcul avec les billets d'enfants. La somme de ces deux calculs doit être le chiffre d'affaires total de billets pour l'événement.

   Voici comment vous écrivez ce système d'équations:

   

2. Résoudre pour l'une des variables.

   Choisissez la variable avec un coefficient de 1 si vous le pouvez, parce que la résolution de cette variable sera facile. Pour cet exemple, vous pouvez choisir de résoudre pour un dans la première équation. Pour ce faire, il faut soustraire c des deux côtés: un = 250 - c.

3. Remplacez la variable résolu dans l'autre équation.

   Dans cet exemple, vous résolvez pour un dans la première équation. Vous prenez cette valeur (250 - c) Et la remplacer dans l'autre équation pour un. (Assurez-vous que vous ne remplacez pas dans l'équation que vous avez utilisé à l'étape 1- Sinon, vous allez tourner en rond.)

   La deuxième équation dit maintenant 23 (250 - c) + 15c = 4846.

4. Résoudre pour la variable inconnue.

   
   
   
   
   

   Vous distribuez le numéro 23:

   5750 - 23c + 15c = 4846

   Et puis vous simplifiez:

   5750 - 8c = 4846, ou -8c = -904

   Ainsi c = 113. Un total de 113 enfants ont participé à l'événement.

5. Remplacer la valeur de la variable inconnue dans l'une des équations originales à résoudre pour l'autre variable inconnue.

   Lorsque vous branchez 113 dans la première équation pour c, vous obtenez un + 113 = 250. Résoudre cette équation, vous obtenez un = 137. Vous avez vendu un total de 137 billets pour adultes.

6. Vérifiez votre solution.

   Lorsque vous branchez un et c dans les équations originales, vous devriez obtenir deux affirmations vraies. Est-ce que 137 + 113 = 250? Oui. Est-ce que 23 (137) + 15 (113) = 4846? En effet.

Comment faire pour résoudre les systèmes linéaires avec la méthode d'élimination

Si la résolution d'un système de deux équations avec la méthode de substitution se révèle difficile ou le système implique fractions, la méthode d'élimination est votre meilleure option suivante. Dans le méthode d'élimination, vous faites une des variables se annuler en ajoutant les deux équations.

Parfois, vous devez multiplier un ou deux équations par des constantes afin d'ajouter l'equations- cette situation se produit lorsque vous ne pouvez pas éliminer l'une des variables en ajoutant simplement les deux équations ensemble. (Rappelez-vous que, pour une variable à être éliminé, les coefficients d'une variable doivent être opposés.)

Par exemple, les étapes suivantes vous montrent comment résoudre ce système en utilisant le processus d'élimination:

1. Réécrire les équations, si nécessaire, de faire comme la ligne des variables jusqu'à dessous de l'autre.

   L'ordre des variables ne Cervin assurez-vous juste que les termes semblables aligner avec des termes comme de haut en bas. Les équations de ce système ont les variables X et y alignés déjà:

   

2. Multiplier les équations par des constantes de faire un jeu de coefficients variables d'appariement.

   Tout d'abord, laissez l'équation top seule et multiplier l'équation de fond par 30 (pour éliminer toutes les dénominateurs). (Assurez-vous de distribuer ce numéro à chaque terme - même de l'autre côté du signe égal.) Faire cette étape vous donne les équations suivantes:

   

3. Ajouter les deux équations.

   Vous avez maintenant -24y = -40.

4. Résoudre pour la variable inconnue qui reste.

   

5. Remplacez la valeur de la variable qui se trouve soit dans l'équation.

   Cet exemple utilise la première équation: 20X + 24 (03/05) = 10.

6. Résoudre pour la variable inconnue finale.

   Vous vous retrouvez avec X = -3/2.

7. Vérifiez vos solutions.

   Toujours vérifier votre réponse en branchant les solutions dans le système d'origine. Ces vérifier!

   20 (-3/2) + 24 (03/05) 40 = -30 + 10 =

   Ça marche! Maintenant, vérifiez l'autre équation:

   

   Parce que les deux valeurs sont des solutions à deux équations, la solution au système est correcte.