Comment utiliser la différenciation pour calculer la superficie maximale d'un corral
Trouver la valeur maximale ou minimale d'une fonction dans le monde réel est l'une des utilisations les plus pratiques de différenciation. Par exemple, vous pourriez avoir besoin pour trouver la superficie maximale d'un corral, donné une certaine longueur de l'escrime.
Dire qu'un éleveur peut se permettre 300 pieds de clôture pour construire un enclos qui est divisé en deux rectangles égaux. Quelles dimensions permettra de maximiser la zone de l'enclos? L'éleveur veut donner à ses animaux autant de place que possible en utilisant la longueur de l'escrime qu'il peut se permettre. Comme tous les gens d'affaires, il veut le plus pour son argent:
Exprimez la chose que vous voulez maximisée, la région, en fonction des deux inconnues, X et y.
UN = l # 183- w
= (2X) (y)
Parce que la région est une fonction de deux variables, étape 1 comprend deux sous-étapes supplémentaires.
Utilisez l'information donnée à relier les deux inconnues à l'autre.
La clôture est utilisé pour sept sections, ainsi
300 = X + X + X + X + y + y + y
300 = 4X + 3y
Résolvez cette équation pour y, et branchez le résultat dans la y dans l'équation de l'étape 1. Cela vous donne ce que vous avez besoin - une fonction d'une variable.
Déterminer le domaine de la fonction.
Vous ne pouvez pas avoir une longueur négative de la clôture, de sorte X ne peut pas être négatif, et le plus X peut être est 300 divisé par 4, ou 75. Ainsi, le domaine est 0 # 8804- X # 8804- 75.
Trouver les numéros de critiques UN(X) Dans l'intervalle ouvert (0, 75) en définissant sa dérivée égale à zéro et la résolution.
Car UN# 8242- est défini pour tous X-valeurs, 37,5 est le seul nombre critique.
Évaluer la fonction au nombre critique, 37,5, et les extrémités de l'intervalle, 0 et 75.
Gardez à l'esprit que l'évaluation d'une fonction aux extrémités d'un intervalle est une étape standard dans la recherche d'un extremum absolu sur l'intervalle. Toutefois, vous pourriez avoir sauté cette étape ici aviez-vous remarqué que UN(X) Est une parabole à l'envers et que, par conséquent, son pic doit être supérieure à deux points de fin.
La valeur maximale de l'intervalle est de 3,750, et ainsi, un X-valeur de 37,5 pieds maximise la zone de l'enclos. La longueur est de 2X, ou 75 pieds. La largeur est y, ce qui équivaut
Branchement 37.5 vous donne
ou 50 pieds. Donc, l'éleveur va construire un 75 pieds par 50 pieds corral d'une superficie de 3750 pieds carrés.
Ceci est une situation réelle monde où il est rentable de faire le calcul. L'éleveur avait pas résolu ce problème, il aurait probablement construit un inférieur, plus petit corral. Beaucoup de gens savent qu'un carré maximise souvent domaine (ce serait le cas, par exemple, dans un corral problème similaire où il n'y a aucune barrière de séparation dans le milieu de l'enclos). Donc, l'éleveur aurait pu penser qu'il devrait construire un carré corral ou, peut-être un corral rectangulaire constitué de deux carrés. Ces deux corrals auraient superficies totales de, respectivement, 3600 pieds carrés et 3673 pieds carrés. Certes, la superficie perdue ne soit pas substantiel dans les deux cas, mais pourquoi crampe ses animaux même un peu pour aucune raison? Et, en autres problèmes, à défaut de trouver un maximale exacte ou minimale peut avoir des conséquences beaucoup plus importantes.
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