Comment trouver la relation d'incertitude de Heisenberg à partir de zéro

Si vous avez lu les dernières sections, vous êtes maintenant armé avec toute cette nouvelle technologie: opérateurs hermitiens et commutateurs. Comment pouvez-vous mettre au travail? Vous pouvez venir avec la relation d'incertitude de Heisenberg à partir pratiquement de zéro.

Voici un calcul qui vous emmène de quelques définitions de base à la relation d'incertitude de Heisenberg. Ce genre de calcul montre combien il est facile d'utiliser le soutien-gorge et ket notation de base-moins de la version complète de la matrice des vecteurs d'état. Cela ne veut pas le genre de calcul que vous aurez besoin de faire en classe, mais le suivre à travers - de savoir comment utiliser chés, soutiens-gorge, commutateurs, et les opérateurs hermitiens est vital dans les prochains chapitres.

L'incertitude dans une mesure de l'opérateur hermitien nommé est formellement donnée par

C'est,

est égale à la racine carrée de la valeur moyenne de A² moins la valeur de l'attente carré de A. Si vous avez pris des cours de mathématiques qui traitent avec les statistiques, cette formule peut vous être familier. De même, l'incertitude dans une mesure à l'aide hermitienne opérateur B est

Considérons maintenant le opérateurs

(pas les incertitudes

plus), et d'assumer que l'application

que les opérateurs vous donne les valeurs de mesure de ce genre:

Comme tout opérateur, à l'aide

peut entraîner des nou- veaux:

Voici la clé: L'inégalité de Schwarz vous donne

Donc vous pouvez voir que le signe de l'inégalité,

qui joue un grand rôle dans la relation d'incertitude de Heisenberg, a déjà glissé dans le calcul.

(la définition d'un opérateur hermitien), vous pouvez voir que

Ceci veut dire cela

Ainsi, vous pouvez réécrire l'inégalité de Schwarz comme ceci:

Bon, où est-ce que vous obtenu? Il est temps d'être intelligent. Notez que vous pouvez écrire

est le anticommutateur des opérateurs

(les constantes et soustrayez), vous pouvez réécrire cette équation:

Voici où le calcul devient intense. Jetez un oeil à ce que vous savez à ce jour:

Le commutateur de deux opérateurs hermitiens, [a, b], est antihermitienne.

La valeur moyenne d'un antihermitienne est purement imaginaire.

La

est hermitienne.

La valeur moyenne d'un hermitienne est réel.

Tout cela signifie que vous pouvez voir la valeur moyenne de l'équation comme la somme des biens

Et parce que le second terme de droite est positive ou nulle, vous pouvez dire que ce qui suit est vrai:

Ouf! Mais maintenant comparer cette inégalité de la relation de l'utilisation antérieure de l'inégalité de Schwarz:

En combinant les deux équations vous donne ceci:

Cela a l'apparence de la relation d'incertitude de Heisenberg, sauf pour les supports de la valeur de l'attente embêtants, lt; >, Et le fait que

apparaîtra carré ici. Vous souhaitez reproduire la relation d'incertitude de Heisenberg ici, qui ressemble à ceci:

Bon, alors comment voulez-vous obtenir le côté gauche de l'équation de

Parce que une équation plus tôt vous dit que

vous savez ce qui suit:

Prenant la valeur moyenne de la dernière terme dans cette équation, vous obtenez ce résultat:

Quadrature l'équation tôt

pour obtenir ce qui suit:

Et en comparant cette équation à l'avant, vous concluez que

Frais. Ce résultat signifie que

Cette inégalité signifie qu'au dernier

Bien bien bien. Donc, le produit de deux incertitudes est supérieure ou égale à la moitié de la valeur absolue du collecteur de leurs opérateurs respectifs? Ouah. Est-ce que la relation d'incertitude de Heisenberg? Eh bien, jetez un oeil. En mécanique quantique, l'opérateur de l'élan ressemble à ceci:

Et l'opérateur pour l'élan dans la direction x est

Alors, quel est le commutateur de l'opérateur X (qui renvoie simplement la X position d'une particule) et

vous obtenez cette prochaine inégalité (rappelez-vous,

ici sont les incertitudes X et

pas les opérateurs):

Hot dog! Voilà la relation d'incertitude de Heisenberg. (Notez que par dérivation à partir de zéro, cependant, vous ne l'avez pas fait contraint le monde physique grâce à l'utilisation des mathématiques abstraites - vous avez simplement prouvé, en utilisant quelques hypothèses de base, que vous ne pouvez pas mesurer le monde physique avec une parfaite précision).