Comment tirer le schr & # 246 équation-Dinger

En physique quantique, la technique 246 de Schr dinger #, ce qui implique la mécanique ondulatoire, utilise les fonctions d'ondes, surtout dans la base de la position, de réduire les questions de la physique quantique à une équation différentielle.

Werner Heisenberg a développé la vue orientée matrice de la physique quantique, parfois appelé la mécanique matricielle. La représentation de la matrice est très bien pour de nombreux problèmes, mais parfois vous devez aller au-delà, comme vous allez voir.

L'un des problèmes centraux de la mécanique quantique est de calculer les niveaux d'un système d'énergie. L'opérateur d'énergie est appelée l'hamiltonien, H, et de trouver les niveaux d'un système d'énergie se décompose pour trouver les valeurs propres du problème:

Ici, E est une valeur propre de l'opérateur de H.

Voici la même équation en termes de la matrice:

Les niveaux d'énergie permises du système physique sont les valeurs propres E, qui satisfont à cette équation. Ceux-ci peuvent être trouvées en résolvant le polynôme caractéristique, qui découle de la mise en le déterminant de la matrice ci-dessus de zéro, comme si

Cela est très bien si vous avez une base de vecteurs propres discrète - si le nombre d'états d'énergie est finie. Mais que faire si le nombre d'états d'énergie est infinie? Dans ce cas, vous ne pouvez plus utiliser une base discrète pour vos opérateurs et soutiens-gorge et kets - vous utilisez un continu base.

Représenter la mécanique quantique dans une base continue est une invention du physicien Erwin Schr # 246-Dinger. Dans la base continue, sommations deviennent intégrales. Par exemple, prenez la relation suivante, où I est la matrice identité:

Elle devient la suivante:

Et chaque ket

peut être étendu dans une base d'autres chés,

comme ça:

Jetez un oeil à l'opérateur de position, R, dans une base continue. L'application de cet opérateur vous donne r, le vecteur de position:

Dans cette équation, l'application de l'opérateur de position à un vecteur d'état renvoie les lieux, r, qu'une particule peut être trouvé à. Vous pouvez étendre toute ché dans la base de position comme ceci:

Et cela devient

Voici une chose très importante à comprendre:

est le vague fonction pour le vecteur d'état

- il est la représentation de l'ché dans la base de position.

Ou en termes communs, il est juste une fonction où la quantité

représente la probabilité que la particule se trouve dans la région ré³r centré sur r.

La fonction d'onde est le fondement de ce qu'on appelle Mécanique ondulatoire, par opposition à la matrice de la mécanique. Ce qui est important à comprendre est que quand vous parlez de représentant des systèmes physiques en mécanique ondulatoire, vous ne l'utilisez pas les bras et kets de la matrice base-moins Mécanique- plutôt, vous utilisez habituellement la fonction d'onde - qui est, soutiens-gorge et chés dans le position de base.

Par conséquent, vous allez de parler

Cette fonction d'onde est juste un ket dans la base de position. Donc, dans la mécanique ondulatoire,

devient la suivante:

Vous pouvez écrire ce que la suivante:

Mais ce qui est

Il est égal à

L'opérateur hamiltonien, H, est l'énergie totale du système, cinétique (p²/ 2m) Plus de potentiel (V (r)) Afin que vous obteniez l'équation suivante:

Mais l'opérateur impulsion est

Par conséquent, en remplaçant l'opérateur impulsion pour p vous donne ceci:

Utilisation de l'opérateur de Laplace, vous obtenez cette équation:

Vous pouvez réécrire cette équation comme suit (appelé Schr # 246-Dinger équation):

Donc, dans la vue de la mécanique ondulatoire de la physique quantique, vous êtes maintenant travailler avec une équation au lieu de plusieurs matrices d'éléments de différentiel. Tout cela est venu de travailler dans la base de la position,

Lorsque vous résolvez l'équation Schr # 246-Dinger pour

vous pouvez trouver les états permis d'énergie pour un système physique, ainsi que la probabilité que le système sera dans un certain état de position.

Notez que, outre les fonctions d'onde dans la base de position, vous pouvez aussi donner une fonction d'onde dans la base de l'élan,

ou en un nombre quelconque d'autres bases.