Déterrer les racines de polynômes avec affacturage

Lors de la résolution des racines (X

-intersections d'un polynôme), vous devez généralement de tenir compte de la règle de fonction et réglez égal à 0. La factorisation peut être simple et évident ou compliqué et obscur. On espère toujours pour la simple et évidente, passage à la difficile et faisable, et le recours à la “ gros canons ” lorsque les facteurs sont plus obscurs.

Avant d'aller à ces longueurs, cependant, vous devez épuiser les autres méthodes. Les autres méthodes d'affacturage comprennent

• Divisant un plus grand commun diviseur (PGCD)

• Affacturage un binôme carré parfait

• Factoring par groupe

• Affacturage trinômes quadratique comme

Exemples de questions

1. Trouver les racines (solutions) du polynôme X⁷ - 82X⁵ + 81X³ = 0.

   X= 0, 0, 0, 9, -9, 1, -1. Cette équation a techniquement sept solutions, mais le 0 est une racine multiple, si vous vous retrouvez avec seulement cinq numéros différents. Pour trouver ces solutions, vous premier facteur X³ sur chaque terme pour obtenir X³(X⁴ - 82X² + 81) =

   
   
   
   
   

   Les deux binômes sont à la fois la différence des carrés parfaits, de sorte que vous pouvez les prendre en compte dans la différence et la somme des racines de ces termes. Vous obtenez X³(X - 9) (X + 9) (X - 1)(X + 1) = 0. Réglage de chacun des facteurs égaux à 0, vous trouverez les racines.

2. Trouver les racines (solutions) du polynôme X³ - 16X² + 100X - 1600 = 0.

   X = 16. Le polynôme n'a pas un facteur commun dans les quatre termes, mais vous pouvez regrouper les termes pour les paires de facteurs communs. Vous obtenez X²(X - 16) + 100 (X - 16) = 0, les facteurs qui en (X - 16) (X² + 100) = 0. La deuxième binôme est la somme des carrés, qui ne tient pas.

   La définition de ces deux facteurs égaux à 0, vous obtenez X = 16 à partir du premier facteur, mais le deuxième facteur ne produit pas de vraies réponses. Même si vous avez commencé avec un troisième degré d'un polynôme, qui peut produire jusqu'à trois solutions, ce polynôme a une seule racine réelle. La solution est juste X = 16.

Questions pratiques

1. Trouver les racines (solutions) du polynôme 3X⁴ - 12X³ - 27X² + 108X = 0.

2. Trouver les racines (solutions) du polynôme X⁵ - 16X³ + X² - 16 = 0.

3. Trouver les racines (solutions) du polynôme X⁶ + 9X³ + 8 = 0.

4. Trouver les racines (solutions) du polynôme 36X⁵ - 13X³ + X = 0.

Voici les réponses aux questions pratiques:

1. La réponse est X= 0, 3, -3, 4.

   Premier facteur 3X sur chaque terme pour obtenir 3X(X³ - 4X² - 9X + 36) = 0. Vous pouvez ensuite tenir compte des conditions dans les parenthèses en regroupant: 3X[X²(X - 4) -9 (X - 4)] = 3X[(X - 4) (X² - 9)] = 3X[(X - 4) (X - 3) (X + 3)] = 0. Set chaque facteur égal à 0 à résoudre pour les racines.

2. La réponse est X= 4, -4, -1.

   Les facteurs de polynômes par groupement: X³(X² - 16) + 1 (X² - 16) = (X² - 16) (X³ + 1) = (X - 4) (X + 4) (X + 1)(X² - X + 1) = 0. Les trois premiers facteurs vous donnent les véritables racines. Le dernier facteur est un quadratique qui n'a pas de véritable solution lorsque vous définissez égal à 0.

   Vous ne devez pas vraiment tenir compte X³ + 1 à 6 problème pour trouver la racine. Si vous venez de définir X³ + 1 égal à 0, vous obtenez X³ = -1, Et en prenant la racine cubique de deux côtés vous donne la solution -1. La forme pris en compte vous montre simplement comment ce problème pourrait avoir eu cinq racines, mais ne sont pas tous les nombres réels dans ce cas.

3. La réponse est X= -2, -1.

   Le polynôme est quadratique-like. Il tient dans (X³ + 8) (X³ + 1) = 0. Réglage de chaque facteur égal à 0, vous obtenez les deux racines.

4. La réponse est

   

   Tout d'abord, le facteur X sur chaque terme pour obtenir X(36X⁴ - 13X² + 1) = 0. Les facteurs trinôme du second degré-like, vous donnant X(9X² - 1) (4X² - 1) = 0. Chaque binôme est la différence de carrés, de façon à la fois facteur de binômes. Pour la factorisation finale, vous vous retrouvez avec X(3X - 1) (3X + 1) (2X - 1) (2X + 1) = 0. Réglage de chaque facteur égal à 0 vous donne les cinq solutions différentes.