Comment deviner et vérifier racines réelles - 2 - racines d'essai par des polynômes de division en utilisant la longue division

Une fois que vous avez utilisé le théorème racine rationnelle à la liste tous les possibles racines rationnelles de tout polynôme, la prochaine étape est de tester les racines. Une façon consiste à utiliser la longue division de polynômes et nous espérons que lorsque vous divisez-vous obtenir un reste de 0. Une fois que vous avez une liste de possibles racines rationnelles, vous alors en choisir un et supposons qu'il est une racine.

Par exemple, considérons l'équation F(X) = 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48, qui a les racines possibles rationnels suivants:

Si X = c est une racine, puis X - c est un facteur. Donc, si vous décrochez X = 2 que votre proposition pour la racine, X - 2 devrait être un facteur. Vous pouvez utiliser la longue division de tester si X - La figure 2 est en fait un facteur et, par conséquent, X = 2 est une racine.

Divisant polynômes d'obtenir une réponse spécifique est pas quelque chose que vous faites chaque jour, mais l'idée d'une fonction ou une expression qui est écrit comme le quotient de deux polynômes est important pour le pré-calcul. Si vous divisez un polynôme par un autre et obtenir un reste de 0, le diviseur est un facteur, qui à son tour donne une racine.

Dans le jargon des mathématiques, l'algorithme de division stipule ce qui suit: Si F(X) Et ré(X) Sont des polynômes de telle sorte que ré(X) Ne soit pas égal à 0, et le degré de ré(X) Est plus grand que le pas de degré F(X), Il ya des polynômes uniques q(X) Et r(X) tel que

En clair, le dividende est égal au temps de diviseurs du quotient plus le reste. Vous pouvez toujours vérifier vos résultats en se souvenant de cette information.

Rappelez-vous le moyen mnémotechnique réirty Monkeys Smêle Bannonce lorsque vous faites la division de long pour vérifier ses racines. Assurez-vous que tous les termes du polynôme sont énumérés par ordre décroissant et que chaque degré est représenté. En d'autres termes, si X² est manquant, mettre dans un espace réservé de 0X² et puis faire la division. (Cette étape est juste de rendre le processus de division plus facile.)

Pour diviser deux polynômes, suivez ces étapes:

1. réivide.

   Divisez le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur. Ecrire ce quotient directement au-dessus du terme que vous venez divisés en.

2. Multiply.

   Multipliez le terme de quotient de l'étape 1 par l'ensemble du diviseur. Ecrire ce polynôme sous le dividende ainsi que des termes comme sont alignés.

3. Subtract.

   Soustraire toute la ligne vous venez d'écrire du dividende.

   Vous pouvez modifier tous les signes et ajoutez si elle vous fait vous sentir plus à l'aise. De cette façon, vous ne serez pas oublier signes.

4. Bsonner en bas de la prochaine législature.

   Ne exactement ce que cela dit- faire baisser le prochain mandat du dividende.

5. Répétez les étapes 1-4 encore et encore jusqu'à ce que le polynôme reste a un degré qui est moins que le dividende de.

La liste suivante explique comment diviser 2X⁴ - 9X³ - 21X² + 88X + 48 par X - 2. Chaque étape correspond à l'étape numérotée dans l'illustration dans ce chiffre.

(Notez que l'utilisation de la règle de Descartes de signes, vous trouvez que cet exemple particulier peut avoir des racines positives, il est donc efficace pour essayer un nombre positif ici. Si la règle de Descartes de signes avait dit que pas de racines positives existent, vous ne seriez pas tester tous positifs !)

1. réivide.

   Qu'est-ce que vous avez à se multiplier X dans le diviseur par pour la faire devenir 2X⁴ du dividende? Le quotient, 2X³, passe au-dessus de la 2X⁴ terme.

2. Multiply.

   Multipliez ce quotient par le diviseur et l'écrire sous le dividende.

3. Subtract.

   Soustraire cette ligne du dividende: (2X⁴ - 9X³) - (2X⁴ - 4X³) = -5X³. Si vous avez fait du bon travail, la soustraction des premiers termes produit toujours 0.

4. Bsonner vers le bas.

   Faire descendre les autres termes de dividende.

5. réivide.

   Qu'est-ce que vous avez à se multiplier X par en faire -5X³? Mettez la réponse, -5X², au-dessus de l'-21X².

6. Multiply.

   Multiplier la -5X² la fois X - 2 pour obtenir -5X³ + 10X². Ecrire sous le reste avec les degrés alignés.

7. Subtract.

   Vous avez maintenant (-5X³ - 21X²) - (-5X³ + 10X²) = -31X².

8. Bsonner vers le bas.

   Le 88X prend sa place.

9. réivide.

   Que multiplier par faire X devenir -31X²? Le quotient -31X va-dessus de -21X².

10. Multiply.

    La valeur -31X fois (X - 2) est -31X² + 62X- écrire sous le reste.

11. Subtract.

    Vous avez maintenant (-31X² + 88X) - (-31X² + 62X), Qui est 26X.

12. Bsonner vers le bas.

    Le 48 descend.

13. réivide.

    Le terme 26X divisé par X est 26. Cette réponse va sur le dessus.

14. Multiply.

    La constante multipliée par 26 (X - 2) est 26X - 52.

15. Subtract.

    Vous soustrayez (26X + 48) - (26X - 52) pour obtenir 100.

16. Sdessus.

    Le reste 100 a un degré qui est moins que le diviseur de X - 2.

Ouah . . . maintenant vous savez pourquoi ils appellent ça long division. Vous êtes allé à travers tout ce que de découvrir que X - La figure 2 est pas un facteur du polynôme, ce qui signifie que X = 2 ne représente pas une racine.

Si vous divisez par c et le reste est égal à 0, alors l'expression linéaire (X - c) Est un facteur et que c est une racine. Un reste différent de 0 implique que (X - c) Est pas un facteur et que c est pas une racine.