Comment trouver extrema locaux avec le premier test de la dérivée

Tous les maximums et des minimums locaux sur le graphique d'une fonction - appelé extrema locaux - se produisent à des points critiques de la fonction (où la dérivée est nulle ou non définie). (Ne pas oublier, cependant, que tous les points critiques sont nécessairement extrema locaux.)

La première étape pour trouver extrema locaux d'une fonction est de trouver le nombre de ses critiques (la X-valeurs des points critiques). Vous utilisez alors le premier test de la dérivée. Ce test est basé sur les idées du prix Nobel de calibre que vous allez sur le sommet d'une colline, d'abord, vous montez et vous descendez, et que lorsque vous conduisez dans et hors d'une vallée, vous allez vers le bas puis vers le haut. Ce truc de calcul est assez incroyable, hein?

La figure montre le graphique de

Pour trouver les nombres critiques de cette fonction, voici ce que vous faites.

1. Trouver la dérivée première de F en utilisant la règle de puissance.

   

2. Réglez le dérivé égale à zéro et à résoudre pour X.

   

   X = 0, -2, 2 ou.

   
   
   
   
   

   Ces trois X-Les valeurs sont les nombres critiques de F. Nombres critiques supplémentaires pourraient exister si la première dérivée ont été undefined à un certain X-les valeurs, mais parce que le dérivé

   

   est définie pour toutes les valeurs d'entrée, l'ensemble de la solution ci-dessus, 0, -2 et 2, est la liste complète des numéros critiques. Étant donné que le dérivé (et la pente) de F est égal à zéro à ces trois nombres critiques, la courbe a tangentes horizontales à ces chiffres.

Maintenant que vous avez la liste des numéros critiques, vous devez déterminer si les pics ou des vallées ou ni à ceux qui se produisent X-des valeurs. Vous pouvez le faire avec le test de la dérivée première. Voici comment:

1. Prenez un numéro de ligne et de mettre bas les nombres critiques que vous avez trouvé: 0, -2 et 2.

   

   Vous divisez cette ligne de nombre en quatre régions: à la gauche de -2, -2 à 0, de 0 à 2, et à la droite de 2.

2. Choisissez une valeur de chaque région, de le brancher sur la dérivée première, et notez si votre résultat est positif ou négatif.

   Pour cet exemple, vous pouvez utiliser les numéros -3, -1, 1 et 3 pour tester les régions.

   

   Ces quatre résultats sont, respectivement, positif, négatif, négatif et positif.

3. Prenez votre numéro de ligne, marquer chaque région avec le signe positif ou négatif approprié, et indiquer où la fonction est croissante et décroissante.

   Ça augmente lorsque la dérivée est positive, et diminue lorsque le dérivé est négative. TheResult est un soi-disant signe graphique pour la fonction.

   

   Ce chiffre vous indique simplement ce que vous savez déjà si vous avez regardé le graphique de F - que la fonction monte jusqu'à -2, contre -2 à 0, plus bas de 0 à 2, et de nouveau à partir de deux de suite.

   Maintenant, voici la science de fusée. Les fonctions des commutateurs de plus en plus à la baisse au -2- en d'autres termes, vous allez jusqu'à -2 et puis vers le bas. Donc, à -2, vous avez une colline ou un maximum local. A l'inverse, parce que la fonction passe de diminution à une augmentation à 2, vous avez une vallée là ou un minimum local. Et parce que le signe de la dérivée première ne se met pas à zéro, il n'y a ni une ni un min max à ce X-valeur.

4. Procurez-vous les valeurs de la fonction (en d'autres termes, les hauteurs) de ces deux extrema locaux en branchant le X-valeurs dans la fonction d'origine.

   

   Ainsi, le maximum local est situé à (-2, 64), et le minimum local est à (2, -64). Vous avez terminé.

Pour utiliser le test de la dérivée première pour tester un extremum local à un nombre critique particulier, la fonction doit être continu à ce X-valeur.