Analyser un circuit parallèle de second ordre RLC utilisant la dualité

De second ordre circuits RLC ont une résistance, inductance et condensateur connecté en série ou en parallèle. Pour analyser un circuit parallèle de second ordre, vous suivez le même processus d'analyse d'un circuit série RLC.

Voici un exemple de circuit parallèle RLC. Le diagramme de gauche montre une entrée je_N avec un courant initial d'inductance je₀ et la tension de condensateur V₀. Le schéma en haut à droite montre la source de courant d'entrée je_N égale à zéro, ce qui permet de résoudre pour la réponse d'entrée zéro. Le schéma en bas à droite montre les conditions initiales (je₀ et V₀) Égale à zéro, ce qui vous permet d'obtenir la réponse à l'état zéro.

Avec la dualité, vous substituez chaque terme électrique dans une équation avec son double, ou une contrepartie, et d'obtenir une autre équation correcte. Par exemple, la tension et le courant sont variables duales.

Mettre en place un circuit parallèle RLC typique

Parce que les composants du circuit parallèle échantillon montré précédemment sont connectés en parallèle, vous définissez l'équation différentielle du second ordre en utilisant la loi actuelle de Kirchhoff (KCL). KCL dit la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants à un noeud. Utilisation KCL au noeud A du circuit de l'échantillon vous donne

je_N(t) = i_R(t) + i_C(t) + i_L(t)

Ensuite, mettre le courant de résistance et le courant de condensateur en fonction du courant d'inducteur. Le courant de résistance je_R(t) est basé sur l'ancienne loi, fiable Ohm:

La contrainte de l'élément pour une inductance est donnée à titre

Le courant je_L(t) est le courant de bobine d'inductance, et L est l'inductance. Cette contrainte de changer un courant génère une tension de l'inducteur. Si le courant d'inducteur ne change pas, il n'y a pas de tension d'inducteur, ce qui implique un court-circuit.

Dispositifs parallèles ont la même tension v (t). Vous utilisez la tension d'inductance v (t) qui est égale à la tension de condensateur pour obtenir le courant de condensateur je_C(t):

Maintenant substituer v (t) = Ldi_L(t) / dt dans la loi d'Ohm, parce que vous avez également la même tension à travers la résistance et l'inductance:

Remplacez les valeurs de je_R(t) et je_C(t) dans l'équation KCL pour vous donner les courants de périphériques en termes de courant inducteur:

Le circuit parallèle RLC est décrite par une équation différentielle du second ordre, de sorte que le circuit est un circuit de deuxième ordre. L'inconnue est le courant dans l'inductance je_L(t).

L'analyse du circuit parallèle RLC suit le long des mêmes lignes que le circuit série RLC. Comparez l'équation précédente avec ce second ordre équation dérivée de la série RLC:

Les deux équations différentielles ont la même forme. La solution connue pour le circuit RLC parallèle est le courant dans l'inductance, et l'inconnu pour le circuit RLC série est la tension du condensateur. Ces inconnues sont variables duales.

Avec dualité, vous pouvez remplacer chaque terme électrique dans une équation avec son double et obtenir une autre équation correcte. Si vous utilisez la substitution de variables suivant dans l'équation différentielle pour le circuit série RLC, vous obtenez l'équation différentielle pour le circuit parallèle RLC.

Dualité vous permet de simplifier votre analyse quand vous savez que les résultats antérieurs. Youpi!

Trouver la réponse à entrée nulle

Les résultats que vous obtenez pour un circuit parallèle RLC sont semblables à ceux que vous obtenez pour le circuit série RLC. Pour un circuit parallèle, vous disposez d'un second ordre et l'équation différentielle homogène donné en termes de courant inducteur:

L'équation précédente vous donne trois cas possibles sous le radical:

Les réponses à entrée nulle des réponses d'induction ressemblent à la forme représentée ici, qui décrit la tension du condensateur.

Lorsque vous avez k₁ et k₂, vous avez la réponse à entrée nulle je_ZI(t). La solution vous donne

Vous pouvez trouver les constantes c₁ et c₂ en utilisant les résultats obtenus dans le circuit série RLC, qui sont donnés à titre

Appliquer la dualité de l'équation précédente en remplaçant la tension, le courant, et l'inductance avec leurs duels (courant, tension, et capacité) pour obtenir c₁ et c₂ pour le circuit parallèle RLC:

Après avoir branché les variables duales, trouver les constantes c₁ et c₂ est facile.

Arrivée à la réponse à l'état zéro

Signifie réponse zéro-zéro de l'Etat conditions initiales. Vous devez trouver les solutions homogènes et particuliers du courant inducteur quand il ya une source d'entrée je_N(t). Zéro conditions initiales moyens regardant le circuit quand il ya 0 courant de l'inductance et de 0 tension du condensateur.

Quand t lt; 0, u (t) = 0. L'équation différentielle du second ordre devient la suivante, où je_L(t) est le courant de l'inductance:

Pour une entrée en échelon, où u (t) = 0 avant l'heure t = 0, la solution homogène ih (t) est

L'ajout de la solution homogène à la solution particulière pour une entrée en échelon Aiu (t) vous donne la réponse à l'état zéro je_ZS(t):

Maintenant, branchez dans les valeurs de je_h(t) et je_p(t):

Voici les résultats de C₁ et C₂ pour le circuit série RLC:

Vous faites maintenant une dualité à travers une simple substitution de termes afin d'obtenir C₁ et C₂ pour le circuit parallèle RLC:

Trouver la réponse totale

Vous ajoutez enfin jusqu'à la réponse d'entrée zéro je_ZI(t) et la réponse à l'état zéro je_ZS(t) pour obtenir la réponse totale je_L(t):

La solution ressemble aux résultats pour le circuit série RLC. En outre, les réponses à un échelon de courant inducteur suivent la même forme que ceux indiqués dans les réponses à un échelon trouvés dans ce circuit d'échantillonnage, pour la tension du condensateur.