Fonctions exprimant que la série de puissance en utilisant la série de MacLaurin
La Série de Maclaurin est un modèle qui vous permet d'exprimer de nombreuses autres fonctions que la série de puissance. Il est la source de formules pour exprimer à la fois le péché X et cos X série comme infinie.
Sans plus tarder, voici:
La notation F(n) moyens “ le ne dérivé de F.” Cela devient plus clair dans la version élargie de la série de Maclaurin:
La série de Maclaurin vous permet d'exprimer les fonctions que la série de puissance en suivant ces étapes:
Trouver les premières dérivées de la fonction jusqu'à ce que vous reconnaissez un motif.
Suppléant 0 pour X dans chacun de ces dérivés.
Branchez ces valeurs, terme à terme, dans la formule de la série de Maclaurin.
Si possible, exprimer la série en notation sigma.
Par exemple, supposons que vous voulez trouver la série de Maclaurin pour eX.
Trouver les premiers dérivés de eX jusqu'à ce que vous reconnaissez un modèle:
Suppléant 0 pour X dans chacun de ces dérivés.
Branchez ces valeurs, terme à terme, dans la formule de la série de Maclaurin:
Si possible, exprimer la série en notation sigma:
Pour vérifier cette formule, l'utiliser pour estimer e0 et e1 en substituant 0 et 1, respectivement, dans les six premiers termes:
Cet exercice ongles e0 Exactement, et approximatives e1 à deux décimales. La série de Maclaurin pour eX vous permet de calculer cette fonction pour toute valeur de X à un nombre de décimales.
Cependant, la série de Maclaurin pour eX fonctionne mieux lorsque X est proche de 0. Comme X se déplace loin de 0, vous devez calculer plusieurs termes pour obtenir le même niveau de précision.
Mais maintenant, vous pouvez commencer à voir pourquoi la série de Maclaurin tend à fournir de meilleures approximations des valeurs proches de 0: 0 Le nombre est “ câblée ” comme dans la formule F(0), F'(0), F"(0), et ainsi de suite.
La figure illustre ce point. Le premier graphique montre le péché X approximé en utilisant les deux premiers termes de la série de Maclaurin - qui est, selon le polynôme du troisième degré
Le deuxième graphique montre une approximation du péché X avec quatre termes.
Comme vous pouvez le voir, chaque approximations successives améliore la précédente. En outre, chaque équation tend à fournir sa meilleure approximation lorsque X est proche de 0.
-
Ports série de votre PC -
Connexion d'un série avec ses deux séquences apparentées -
Déterminer si une série de Taylor est convergente ou divergente -
Exprimer et se rapprochant de fonctions en utilisant la série de Taylor -
Fonctions exprimant que la série de puissance à l'aide de la série de Taylor -
Exprimant les fonction cos x comme une série
Exprimant la fonction sin x comme une série Si vous voulez trouver la valeur approximative du péché X, vous pouvez utiliser une formule pour l'exprimer comme une série. Cette formule exprime la fonction sinus comme une série alternée:Pour donner un sens à cette formule, utilisez la…
Comment analyser une série télescopique Vous ne voyez pas beaucoup de séries de télescopage, mais la règle de série télescopique est un bon à garder dans votre sac à malices - vous ne savez jamais quand il pourrait venir dans maniable. Considérons la série suivante:Pour voir que…
Comment analyser la convergence absolue et conditionnelle Beaucoup de séries divergentes des termes positifs convergent si vous modifiez les signes de leurs conditions afin qu'ils alternent entre positif et négatif. Par exemple, vous savez que la série harmonique diverge:Mais, si vous changez tout autre…
Comment analyser un p-series Soi-disant p-séries sont des séries relativement simple, mais important, que vous pouvez utiliser comme points de référence pour déterminer la convergence ou la divergence des séries plus compliqué. UN p-série est de la forme(où p est un…
Comment déterminer si une série alternée converge ou diverge Un alternatif série est une série où les termes alternent entre positif et négatif. Vous pouvez dire que une série alternée converge si deux conditions sont remplies:C'est ne terme converge vers zéro.Ses termes sont non-augmentation - en…
Comment intégrer une série de puissance Parce que la série de puissance ressemblent polynômes, ils sont simples à intégrer l'aide d'un processus simple en trois étapes qui utilise la règle Somme, Constant règle multiple, et de la règle d'alimentation.Par exemple, jetez un oeil à…
Comment reconnaître un p-series Un type important de série est appelé le p-série. UN p-série peut être convergent ou divergent, en fonction de sa valeur. Il prend la forme suivante:Voici un exemple d'une commune p-série, lorsque p = 2:Voici quelques autres exemples de…
Comment utiliser la notation de sommation pour montrer une somme partielle d'une séquence La notation de sommation est un moyen utile pour représenter la somme partielle d'une séquence. La somme de la première k termes d'une suite arithmétique est appelé la ksomme partielle ème. Ils sont appelés sommes partielles parce que vous…
Comment utiliser le test de nième terme pour déterminer si une série converge Si les termes individuels d'une série (en d'autres mots, les termes de séquence sous-jacente de la série) ne convergent pas vers zéro, alors la série doit diverger. C'est le ne test de terme pour divergence. Cela est généralement un très…
Comment utiliser le test de racine pour déterminer si une série converge Le test de racine ne se compare pas une nouvelle série à une série de référence connu. Il fonctionne en ne regardant que la nature de la série que vous essayez de comprendre. Vous utilisez le test de racine d'enquêter sur la limite de la ne…
Comment classer les tendances dans un modèle de régression série de temps Pour estimer une série de temps avec l'analyse de régression, la première étape consiste à identifier le type de tendance (le cas échéant) qui est présente dans les données. Le type de tendance, comme linéaire ou quadratique, détermine…
10 façons de calculer les fonctions trigonométriques sans fonctions trig Une fonction trigonométrique a des valeurs d'entrée qui sont les angles et les valeurs de sortie qui sont des nombres réels. Vous avez deux choix lors de la saisie des valeurs dans une fonction trig: Vous pouvez utiliser degrés ou en radians. La…
Sinus et cosinus avec l'algèbre Vous pouvez rapprocher, de façon assez précise, le sinus et cosinus des angles avec un infini série, qui est la somme des termes de certaines séquences, ou une liste, de numéros. Prenez note, cependant, que la série de sinus et cosinus sont…
Mémorisation des formules importantes pour l'examen série 7 Vous ne pouvez pas apporter vos notes dans le centre d'examen de la série 7, alors assurez-vous de ranger les informations suivantes loin dans votre cerveau et l'écrire sur le papier brouillon fourni après le test commence:Déterminer les actions…