Comment résoudre un triangle quand vous savez que deux longueurs des côtés consécutifs (SSA)

Dans certains problèmes trigonométriques, on peut vous donner deux côtés d'un triangle et un angle qui ne sont pas entre eux, ce qui est le cas classique de l'Afrique subsaharienne, ou Side-Side-Angle. Dans ce scénario, vous pouvez avoir une seule solution, deux solutions, ou pas de solutions.

La meilleure approche est de toujours supposer que vous trouverez deux solutions, car se souvenir de toutes les règles qui déterminent le nombre de solutions sera probablement prendre beaucoup trop de temps et d'énergie. Si vous traiter chaque problème SSA comme si elle a deux solutions jusqu'à ce que vous recueillir suffisamment d'informations pour prouver le contraire, vous serez deux fois plus susceptibles de trouver toutes les solutions appropriées.

D'acquérir une certaine expérience avec la résolution d'un triangle qui a plus d'une solution est utile. Le premier ensemble de solutions que vous trouvez dans une telle situation contient toujours un triangle aiguë. La deuxième série de solutions contient toujours un triangle obtus.

Par exemple, disons que vous êtes donné un = 16, c = 20, et

Figure un vous montre ce que l'image peut ressembler. Cependant, ne pouvait pas le triangle aussi ressembler à la figure b? Les deux situations suivent les contraintes de l'information donnée du triangle. Si vous commencez par dessiner votre image avec l'angle donné, le côté à côté de l'angle a une longueur de 20, et le côté face de l'angle est de 16 unités de long. Le triangle pourrait être formé de deux façons différentes. Angle C pourrait être un angle aigu ou obtus angle- l'information donnée ne suffit pas restrictive pour vous dire que l'on est. Par conséquent, vous devez trouver deux ensembles de solutions.

La résolution de ce triangle en utilisant les étapes suivantes vous donne les deux solutions possibles présentées dans la figure. Parce que vous avez deux angles manquantes, vous devez trouver l'un d'eux en premier:

1. Remplissez la formule loi des sinus avec ce que vous savez.

   Étant donné que la formule de la loi des sinus ressemble à ceci:

   

   la formule ici met en place comme ceci:

   

2. Placer les deux fractions égales les unes aux autres de telle sorte que vous avez une seule inconnue.

   Disons que vous décidez de résoudre pour l'angle C. Dans ce cas, vous définissez les première et troisième fractions égales à l'autre, et si vous avez cette équation:

   

3. Traversez multiplient et isoler la fonction sinus.

   Cette étape vous donne

   
   
   
   
   

   Pour isoler la fonction sinus, vous divisez par 16:

   

4. Prenez le sinus inverse des deux côtés.

   

   Le droit; côté va droit dans votre calculatrice à portée de main pour vous donner

   

5. Déterminer le troisième angle.

   Tu le sais

   

6. Branchez l'angle final de retour dans la loi de formule Sines pour trouver le troisième côté.

   Cette étape vous donne

   

   Enfin, vous pouvez résoudre:

   

Bien entendu, cette solution pour le triangle est pas le seul. Reportez-vous à l'étape 4, où vous avez résolu pour l'angle C, et ensuite chercher à ce chiffre:

Le triangle ABC est la solution que vous avez résolu dans ces étapes. Triangle AB'C 'est la deuxième série de solutions que vous devez rechercher. Une certaine identité trigonométrique est pas utilisé dans la résolution ou la simplification des expressions trigonométriques, car il est pas utile pour ceux, mais il est utile pour résoudre des triangles. Cette identité indique que

Toutefois, si vous branchez le péché^-1(0.9319) dans votre calculatrice pour résoudre thêta, 68.27 degrés est la seule solution que vous obtenez. Soustrayant cette valeur de 180 degrés vous donne l'autre solution ambiguë pour l'angle C, qui est généralement désigné comme angle C 'afin de ne pas confondre avec la première solution.

Les étapes suivantes se fondent sur ces actions de sorte que vous pouvez trouver toutes les solutions pour ce problème SSA:

1. Utilisez l'identité trigonométrique

   

2. pour trouver le second angle de la deuxième triangle.

   Car

   

   soustraire cette valeur de 180 degrés pour constater que

   

3. Trouver la mesure du troisième angle.

   

   parce que les trois angles doivent ajouter à 180 degrés.

4. Branchez ces valeurs d'angle dans la loi de formule Sines.

   

5. Régler une fraction ayant un numérateur inconnu et la fraction avec un numérateur connu égaux entre eux dans la formule.

   Vous devez trouver b». Réglez la première fraction égale à la seconde:

   

6. Traversez multiplient à résoudre pour la variable.

   

   Isoler b»Pour obtenir cette solution:

   

7. Liste tous les réponses aux deux triangles (voir la liste numérotée précédente).

   À l'origine, on vous a donné que un = 16, c = 20, et d'angle a = 48 degrés. Les réponses que vous avez trouvés sont les suivants:

8. Première triangle.

   

9. Deuxième triangle.