Comment faire pour tester si une série converge ou diverge
Dites que vous êtes à essayer de comprendre si une série converge ou diverge, mais il ne correspond à aucune des épreuves que vous connaissez. Pas de soucis. Vous trouverez une série de référence que vous savez converge ou diverge puis comparez votre nouvelle série à l'indice de référence connu.
Si vous avez une série qui est plus petit qu'un convergent série de référence, alors votre série doit aussi converger. Si l'indice de référence converge, votre série converges- et si l'indice de référence diverge, votre série diverge. Et si votre série est plus grande qu'un divergent série de référence, alors votre série doit également diverger. Voici le charabia.
Direct test de comparaison:
Que diriez-vous un exemple? Déterminer si
converge ou diverge. Piece o 'gâteau. Cette série ressemble
qui est une série géométrique avec r égal à
(Notez que vous pouvez réécrire ce sous la forme de série géométrique standard
cette série converge. Et parce que
converger. Voici une autre: Ne
converger ou diverger? Cette série ressemble
l'harmonique p-série qui est connu à diverger. Car
doit également diverger. Par ailleurs, si vous vous demandez pourquoi cet exemple considère que les termes où
voici pourquoi:
Sentez-vous libre d'ignorer les conditions initiales. Pour l'un des tests de convergence / divergence, vous pouvez ignorer quelconque nombre de termes dans le début d'une série. Et si vous comparez les deux séries, vous pouvez ignorer un certain nombre de termes à partir du début de l'une ou les deux de la série - et vous pouvez ignorer un nombre différent de termes dans chacune des deux séries.
Ce mépris des termes commençant innocents est permis parce que la première, disons, 10 ou 1000 ou 1.000.000 termes d'une série résumer toujours un nombre fini et donc ne jamais avoir aucun effet si la série converge ou diverge. Notez, cependant, que le mépris d'un certain nombre de termes aurait affecter le total que une série convergente converge vers.
(Vous vous demandez pourquoi ce mépris des termes commençant ne viole pas l'exigence du test de comparaison directe que
Tout est copacetic parce que vous pouvez élaguer un certain nombre de termes au début de chaque série et de laisser le compteur, n, commencer à 1 partout dans chaque série. Ainsi, la «première» des termes un1 et b1 peut en fait être situé n'importe où le long de chaque série. Donner un sens?)
Fore! (Ce était une blague.) Le test de comparaison directe vous dit rien si la série que vous étudiez est plus grand qu'un connue convergent série ou Moins qu'un connue divergent série.
Par exemple, disons que vous voulez déterminer si
converge. Cette série ressemble
qui est une p-série avec p égal à
La p-test de la série dit que cette série diverge, mais cela ne vous aide pas parce que votre série est Moins de ce point de repère connu divergente.
Au lieu de cela, vous devriez comparer votre série à la série harmonique divergente,
(il prend un peu de travail pour montrer this- faire un essai). Parce que votre série est plus grand que le divergent série harmonique, votre série doit également diverger.
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