Calcul des limites d'erreur pour Taylor polynômes
Un polynôme de Taylor se rapproche de la valeur d'une fonction, et dans de nombreux cas, il est utile de mesurer la précision d'un rapprochement. Cette information est fournie par la Taylor terme reste:
F(X) = Tn(X) + Rn(X)
Notez que l'ajout du terme de reste Rn(X) Tourne le rapprochement dans une équation. Voici la formule pour la durée restante:
Il est important d'être clair que cette équation est vrai pour une spécifique valeur de c sur l'intervalle entre un et X. Cela fait pas travailler pour seulement toute valeur de c sur cet intervalle.
Idéalement, le terme reste vous donne la différence précise entre la valeur d'une fonction et le rapprochement Tn(X). Toutefois, en raison de la valeur c est incertain, dans la pratique, le terme reste fournit vraiment un scénario du pire pour votre rapprochement.
L'exemple suivant devrait aider à clarifier cette idée, en utilisant la sixième degré polynôme de Taylor pour cos X:
Supposons que vous utilisez ce polynôme à rapprocher cos 1:
Quelle est la précision de cette approximation susceptible d'être? Pour le savoir, utiliser le terme de reste:
cos 1 = T6(X) + R6(X)
Ajouter le reste des changements à long terme associés à cette approximation dans une équation. Voici la formule pour la durée restante:
Ainsi, pour son remplacement par une X te donne:
À ce stade, vous êtes apparemment coincé, parce que vous ne connaissez pas la valeur du péché c. Cependant, vous pouvez brancher c = 0 et c = 1 pour vous donner une fourchette de valeurs possibles:
Gardez à l'esprit que cette inégalité se produit en raison de l'intervalle en cause, et parce que ce sine augmente sur cet intervalle. Vous pouvez obtenir une autre borne avec un intervalle différent.
Cela simplifie à fournir une approximation très proche:
Ainsi, le terme de reste prédit que la valeur approximative calculée tôt sera dans 0,00017 de la valeur réelle. Et, de fait,
Comme vous pouvez le voir, le rapprochement est dans les limites d'erreur prédites par le terme de reste.
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