Les taux associés: le creux de problème eaux grasses

Disons que vous remplir votre piscine et vous savez comment l'eau est rapidement sortir de votre tuyau, et vous voulez calculer à quelle vitesse le niveau d'eau dans la piscine est à la hausse. Vous connaissez un seul taux (à quelle vitesse l'eau se déverse dans), et que vous souhaitez afin de déterminer un nouveau taux (à quelle vitesse le niveau d'eau est à la hausse). Ces taux sont appelés les taux connexes parce que l'un dépend de l'autre - le plus rapide de l'eau est versée dans, plus le niveau de l'eau va augmenter. Dans un problème typique des taux connexes, le ou les taux vous êtes donné sont immuables, mais le taux que vous devez comprendre est en train de changer avec le temps. Vous devez déterminer ce taux à un moment précis dans le temps.

Voici un jardin-variété taux connexes problème. Un creux est rempli avec des eaux grasses. Il est 10 pieds de long, et sa section transversale est un triangle isocèle ayant une base de 2 pieds et une hauteur de 2 pieds 6 pouces (avec le sommet vers le bas, bien sûr). L'être de Swill versé à un taux de 5 pieds cubes par minute. Lorsque la profondeur de la pâtée est de 1 pieds 3 pouces, la vitesse est le niveau des eaux grasses hausse?

1. Dessinez un schéma, le marquage du diagramme avec toute immuable mesures et les variables céder à un changeant les choses.

   

   Il est important que votre silhouette montrer la immuable Dimensions de la cuve - 2 pieds, 2 pieds 6 pouces et 10 pieds - et que vous ne donnez pas ces dimensions noms de variables comme l de longueur ou h pour la hauteur. Et noter que le changeant choses - la hauteur (ou profondeur) de la pâtée et la largeur de la surface de la pâtée (qui devient plus large tandis que les eaux grasses devient plus profond) - doivent avoir des noms de variables, comme h en hauteur et en b pour la base. (On l'appelle le base à la place de la largeur car elle est la base de la forme de triangle renversé faite par les eaux grasses.) Le volume des eaux grasses est également en train de changer, de sorte que vous pouvez appeler que V, bien sûr.

2. Liste de tous les taux indiqués et le taux que vous êtes invité à comprendre que les dérivés à l'égard de temps.

   

3. Notez la formule qui relie les variables du problème: V, h, et b.

   
   
   
   
   

   La formule pour le volume d'un prisme droit (la forme du eaux grasses dans l'auge) est

   V = (superficie de base) (hauteur)

   Cette "base" est la base du prisme (toute triangle à l'extrémité de la cuve), et non la base du triangle, qui est marqué sur la figure b. En outre, cette «hauteur» est la hauteur du prisme (la longueur de la cuve), pas la hauteur marqué h dans la figure.

   La superficie de la base triangulaire est égale à

   

   et la «hauteur» du prisme est de 10 pieds, de sorte que la formule devient

   

4. Trouver une équation qui relie la variable non désirée, b, à une autre variable dans le problème de sorte que vous pouvez faire un changement qui vous laisse avec seulement V et h.

   Le visage triangulaire de les eaux grasses dans l'auge est similaire au visage triangulaire de la cuve elle-même, de sorte que la base et la hauteur de ces triangles sont proportionnelles. Ainsi,

   

   Gardez à l'esprit que les triangles semblables viennent beaucoup dans les problèmes de taux liés. Cherchez-les chaque fois que le problème implique un triangle, un prisme triangulaire, ou une forme de cône.

   Maintenant substituer 0,8h pour b dans votre formule de l'étape 3.

   

5. Différencier cette équation par rapport à t.

   

6. Substituer les valeurs connues pour le taux et la variable dans l'équation de l'étape 5, puis résoudre.

   

C'est tout. Le niveau du eaux grasses augmente à un taux de 1/2 pied par minute lorsque les eaux grasses est de 1 pied 3 pouces de profondeur. Creusez!