Les taux associés: le problème ballon expansion

Disons que vous remplir votre piscine et vous savez comment l'eau est rapidement sortir de votre tuyau, et vous voulez calculer à quelle vitesse le niveau d'eau dans la piscine est à la hausse. Vous connaissez un seul taux (à quelle vitesse l'eau se déverse dans), et que vous souhaitez afin de déterminer un nouveau taux (à quelle vitesse le niveau d'eau est à la hausse). Ces taux sont appelés les taux connexes parce que l'un dépend de l'autre - le plus rapide de l'eau est versée dans, plus le niveau de l'eau va augmenter. Dans un problème typique des taux connexes, le ou les taux vous êtes donné sont immuables, mais le taux que vous devez comprendre est en train de changer avec le temps. Vous devez déterminer ce taux à un moment précis dans le temps.

Par exemple, dites que vous gonfler un ballon à une vitesse de 300 pouces cubes par minute. Lorsque le rayon du ballon est de 3 pouces, la vitesse est le rayon augmente?

1. Dessinez un schéma étiqueter le diagramme avec toute immuable mesures (il n'y en a pas dans ce inhabituellement problème simple) et assurez-vous d'affecter une variable à rien dans le problème qui est changeant (à moins, bien sûr, il est sans rapport avec le problème).

   Le rayon de la figure est marqué avec la variable r. Le rayon a besoin d'une variable parce que, comme le ballon est gonflé, le rayon est changeant. Dans la figure 3 est entre parenthèses à souligner que le nombre 3 est pas une mesure immuable. Le problème vous demande de déterminer quelque chose quand le rayon est de 3 pouces, mais rappelez-vous, le rayon est en constante évolution.

   Dans les problèmes de tarifs connexes, il est important de distinguer entre ce qui change et ce qui est pas changer.

   Le volume du ballon est également en train de changer, de sorte que vous besoin d'une variable pour le volume, V. Vous pourriez mettre un V sur votre diagramme pour indiquer le volume de changement, mais il n'y a vraiment aucun moyen facile d'étiqueter partie du ballon avec une V comme vous pouvez afficher le rayon avec un r.

2. 
   
   
   
   

   Liste de tous les taux indiqués et le taux que vous êtes invité à déterminer que les produits dérivés par rapport au temps.

   Vous pomper le ballon à 300 cubic pouces par minute. Voilà un taux - il est un changement de volume (pouces cubes) par le changement dans le temps (en minutes). Ainsi,

   

   Vous devez déterminer à quelle vitesse le rayon évolue,

   

3. Notez la formule qui relie les variables dans le problème, V et r.

   Voici la formule pour le volume d'une sphère:

   

4. Différencier votre formule par rapport au temps, t.

   Cela fonctionne comme la différenciation implicite parce que vous êtes de différenciation par rapport à t, mais la formule est basée sur autre chose, à savoir r.

   

5. Substituer les valeurs connues pour le taux et les variables dans l'équation de l'étape 4, puis résoudre pour la chose que vous êtes invité à déterminer.

   

   Assurez-vous de faire la différence (étape 4) avant de brancher l'information donnée dans les inconnues (étape 5).

   

   Ainsi, le rayon augmente à un taux de 2,65 pouces par minute lorsque le rayon de mesurer 3 pouces. Pensez à tous les ballons que vous avez sauté depuis votre enfance. Maintenant, vous avez enfin la réponse à la question qui a été mise sur écoute vous toutes ces années.

   En passant, si vous branchez 5 dans r, plutôt que 3, vous obtenez une réponse d'environ 0,95 pouces par minute. Ce fait devrait d'accord avec votre expérience ballon-soufflage-up - plus le ballon arrive, le ralentissement de sa croissance.