Mise en place des fractions partielles lorsque vous avez répété facteurs quadratiques
Votre première étape de tout problème qui implique fractions partielles est de reconnaître ce cas, vous avez affaire à de sorte que vous pouvez résoudre le problème. Un cas où vous pouvez utiliser des fractions partielles est avec facteurs quadratiques répétées.
Ceci est votre pire cauchemar quand il vient à fractions partielles, parce que le dénominateur inclut des facteurs répétées du second degré.
Pour chaque facteur quadratique carré dans le dénominateur, ajouter deux fractions partielles sous la forme suivante:
Pour chaque facteur quadratique dans le dénominateur qui est élevé à la puissance trois, ajouter trois fractions partielles sous la forme suivante:
De manière générale, quand un facteur quadratique est portée à la nième puissance, ajouter n fractions partielles. Par example:
Ce dénominateur a un facteur linéaire non répétitif (X - 8), un facteur quadratique non répétitif (X2 + X + 1), et une expression quadratique qui est au carré (X2 + 3). Voici comment vous définissez les fractions partielles:
Cet exemple ajoute une fraction partielle pour chacun des facteurs non répétitif et deux fractions partielles pour le facteur carré.
Lorsque vous commencez avec un facteur quadratique de la forme (hache2 + C), En utilisant des fractions partielles se traduit par les deux intégrales suivantes:
Intégrer le premier en utilisant la substitution de variable u = hache2 + C de sorte que du = 2hache dx et
Cette substitution donne l'intégrale suivante:
Voici quelques exemples:
Pour évaluer la seconde intégrale, utilisez la formule suivante:
La plupart des professeurs de mathématiques ont au moins une once de pitié dans leurs coeurs, afin qu'ils ne tendent pas à vous donner des problèmes qui comprennent ce cas le plus difficile. Lorsque vous commencez avec un facteur quadratique de la forme (hache2 + bx + C), En utilisant des fractions partielles se traduit par l'intégrale suivante:
D'accord, ça beaucoup trop de lettres et pas assez numéros. Voici un exemple:
Ceci est à propos de l'intégrale plus poilu que vous allez jamais de voir à l'extrémité d'une fraction partielle. Pour l'évaluer, vous souhaitez utiliser la substitution de variable u = X2 + 6X + 13 de sorte que du = (2X + 6) dx. Si le numérateur étaient 2X + 6, vous seriez en grande forme. Donc, vous devez modifier le numérateur un peu. Première multiplier par 2 et diviser l'intégrale de 2:
Parce que vous avez multiplié l'ensemble intégrante de 1, aucun changement net a eu lieu. Maintenant, ajoutez 6 et -6 au numérateur:
Cette fois, vous ajouter 0 à l'intégrale, qui ne change pas sa valeur. À ce stade, vous pouvez diviser l'intégrale en deux:
À ce stade, vous pouvez utiliser la substitution de variable pour changer la première intégrale comme suit:
Pour résoudre le deuxième intégrale, compléter le carré dans le dénominateur: Diviser le b terme (6) par 2 et carré, puis représentent la C terme (13) comme étant la somme de ce et tout est laissé:
Maintenant diviser le dénominateur en deux carrés:
Pour évaluer cette intégrale, utiliser la même formule de la section précédente:
Alors, voici la réponse finale pour la seconde intégrale:
Par conséquent, reconstituer la réponse complète comme suit:
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