Intégrer les fonctions où le dénominateur contient facteurs quadratiques irréductibles
Parfois, vous ne pouvez pas le facteur A dénominateur tout le chemin à des facteurs linéaires parce que certaines équations du second degré sont irréductibles - comme les nombres premiers, ils ne peuvent pas être pris en compte.
Vérifier la discriminant. Vous pouvez facilement vérifier si une quadratique (hache2 + bx + c) Est réductible ou non en cochant son discriminant, b2 - 4un C. Si le discriminant est négatif, l'quadratique est irréductible. Si le discriminant est un carré parfait, comme 0, 1, 4, 9, 16, 25, etc., l'quadratique peut être pris en compte dans les facteurs comme vous avez l'habitude de voir comme (2X - 5) (X + 5). La dernière possibilité est que le discriminant est égale à un nombre positif non-carré, comme dans le second degré X2 + 10X + 1, par exemple, qui a un discriminant de 96. Dans ce cas, l'équation quadratique peut être pris en compte, mais vous obtenez facteurs laides impliquant des racines carrées. Heureusement, ces problèmes sont rares.
En utilisant la technique de fractions partielles avec quadratiques irréductibles est un peu différent. Voici un problème: Intégrer
Le facteur dénominateur.
C'est déjà fait! Noter que X2 + 4 est irréductible, car son discriminant est négatif.
Brisez la fraction en une somme de "fractions partielles."
Si vous avez un facteur quadratique irréductible (comme le X2 + 4), le numérateur de la fraction partielle a besoin de deux inconnues capital lettre au lieu d'un seul. Vous les écrivez sous la forme de Px + Q.
Multiplier les deux côtés de cette équation par la gauche; dénominateur latérale.
Prenez les racines des facteurs linéaires et les brancher - un à la fois - en X dans l'équation de l'étape 3, puis résoudre.
Si X = 0, Si X = 1,
-4 = -4UN10 = 5B
UN = 1B = 2
Vous ne pouvez pas résoudre pour toutes les inconnues en branchant les racines des facteurs linéaires, si vous avez plus de travail à faire.
Branchez dans l'équation Étape 3 les valeurs connues de UN et B et tous les deux valeurs pour X non utilisé à l'étape 4 (faible nombre font l'arithmétique plus facile) pour obtenir un système de deux équations à C et ré.
Résoudre le système: 1 = C + D et 2C + 7 = D.
Vous devriez obtenir C = 2 et ré = 3.
Diviser l'intégrale d'origine et de les intégrer.
En utilisant les valeurs obtenues dans les étapes 4 et 6, UN = 1, B = 2, C = 2, et ré = 3, et l'équation de l'étape 2, vous pouvez diviser l'intégrale originale en trois morceaux:
Et avec l'algèbre simple, vous pouvez diviser la troisième intégrale sur le droit en deux morceaux, résultant de la décomposition partielle finale de la fraction:
Les deux intégrales premières sont faciles. Pour la troisième, vous utilisez substitution avec
Le quatrième est fait avec la règle arctangente, que vous devez mémoriser:
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