Comment mesurer les vestiaires sous une courbe

Vous pouvez utiliser une fonction de la zone pour mesurer la surface sous une courbe, alors même que les changements de la région. Par exemple, disons que vous avez une fonction ancienne, F (t). Imaginez que, à un t-valeur, appeler s, vous tracez une ligne verticale fixe, comme indiqué ici.

Ensuite, vous prenez une ligne verticale mobile, en commençant au même point, s ("s" est pour départ points), et faites-la glisser vers la droite. Lorsque vous faites glisser la ligne, vous balayer une zone plus en plus grande sous la courbe. Cette zone est une fonction de X, la position de la ligne de déplacement. Dans les symboles, vous écrivez

Noter que t est la variable d'entrée en F (t) au lieu de X car X est déjà pris - il est la variable d'entrée UN_F (X). L'indice F dans UN_F indique que UN_F (X) Est la fonction de la zone de la courbe particulier F ou F (t). La dt est un petit incrément le long de la t-axe - en fait un infiniment petit incrément.

Voici un exemple simple pour vous assurer que vous avez une poignée sur la façon dont une fonction de zone fonctionne. En passant, ne vous sentez pas mal si vous trouvez cela très difficile à saisir - vous avez beaucoup de compagnie. Dites que vous avez la fonction simple, F (t) = 10, qui est une ligne horizontale à y = 10. Si vous balayer la zone à partir de s = 3, vous obtenez la fonction de domaine suivant:

Vous pouvez voir que la zone balayée 3-4 est 10 parce que, en faisant glisser la ligne à partir de 3 à 4, vous balayez un rectangle avec une largeur de 1 et une hauteur de 10, qui a une superficie de 1 fois 10, ou 10, comme indiqué ici.

Ainsi, UN_F (4), l'aire balayée comme vous frappez 4, est égal à 10. UN_F (5) est égal à 20 parce que quand vous faites glisser la ligne à 5, vous avez balayé un rectangle avec une largeur de 2 et une hauteur de 10, qui a une superficie de 2 fois 10, ou 20. UN_F (6) est égal à 30, et ainsi de suite.

Maintenant, imaginez que vous faites glisser la ligne à travers à un taux d'une unité par seconde. Vous commencez à X = 3, et vous frappez 4 à 1 seconde, 5 à 2 secondes, 6 à 3 secondes, et ainsi de suite. Quelle superficie vous balayer par seconde? Dix unités carrés par seconde parce que chaque seconde que vous balayer un autre rectangle 1-par-10. Avis - ceci est énorme - que parce que la largeur de chaque rectangle vous balayer est 1, la surface de chaque rectangle - qui est donnée par hauteur fois largeur - est la même que sa hauteur en raison des temps de quoi que ce soit lui-même est égal à 1. Vous voyez pourquoi cela est énorme dans une minute. (En passant, le taux réel vous vous souciez est pas ici zone balayée par seconde, mais, plutôt, la zone balayée par le changement de l'unité sur la X-axe. Cet exemple explique en termes de par seconde, car il est plus facile de penser à un taux de balayage de départ de la zone de cette façon. Et puisque vous faites glisser la ligne à travers au une x-unité axe par un Deuxièmement, les deux taux sont les mêmes. Faites votre choix.)

Le dérivé d'une fonction de zone est égal au taux de la zone étant balayé. Ok, vous êtes assis? Vous avez atteint un de l'autre de la grande Ah ha! des moments dans l'histoire des mathématiques. Rappeler que un dérivé est un taux. Ainsi, parce que la vitesse à laquelle la fonction de zone précédente pousse est de 10 unités carrés par seconde, vous pouvez dire son dérivé est égal à 10. Ainsi, vous pouvez écrire

Encore une fois, cela vous dit juste que chaque augmentation de 1 unité X, UN_F (la fonction de zone) monte 10. Maintenant, voici la chose essentielle: Notez que ce taux ou un dérivé de 10 est la même que la hauteur de la fonction d'origine F (t) = 10 parce que vous allez à travers une unité, vous balayez un rectangle qui est 1 par 10, qui a une superficie de 10, la hauteur de la fonction.

Et le taux qui correspond à 10 quelle que soit la largeur du rectangle. Imaginez que vous faites glisser la ligne verticale à partir de X = 4 à X = 4.001. À un taux d'une unité par seconde, que vous emmènerons 1/1000^e deuxième, et vous balayez un rectangle maigre avec une largeur de 1/1000, une hauteur de 10, et donc une superficie de 10 fois 1/1000, ou 1/100 carrés. Le taux de la zone étant balayé serait, par conséquent,

ce qui équivaut à 10 unités carrés par seconde. Donc, vous voyez que chaque petite augmentation le long de la X-axe, le taux de la zone étant balayé égale la hauteur de la fonction.

Cela fonctionne pour toute fonction, non seulement des lignes horizontales. Regardez la fonction g (t) Et sa fonction de zone UN_g (X) Qui balaye la zone à partir de s = 2 dans la figure suivante.

Entre X = 3,6 et X = 3,7, UN_g (X) Se développe par la zone de cette maigre, sombre ombragé «rectangle» avec une largeur de 0,1 et une hauteur d'environ 15. (Comme vous pouvez le voir, il est pas vraiment un rectangle- il est plus proche d'un trapèze, mais il est pas que ce soit parce sa petite supérieure est légèrement incurvée. Mais, à la limite, que la largeur devient de plus en plus petit, le "rectangle" skinny se comporte exactement comme un vrai rectangle.) Donc, pour répéter, UN_g (X) Se développe par la zone de cette sombre "rectangle", qui a une superficie extrêmement près de 0,1 fois 15, ou 1,5. Cette zone est balayée en 0,1 secondes, de sorte que le taux de la zone étant balayé est

ou 15 unités carrés par seconde, la hauteur de la fonction. Cette idée est si important qu'il mérite d'être répété:

Le taux de la zone balayant est égale à la hauteur. La taux de la zone étant balayé sous une courbe par une fonction de la zone à une donnée X-La valeur est égale à la hauteur de la courbe à ce que X-valeur.