Comment utiliser la notation sigma pour trouver l'aire sous la courbe

Vous pouvez utiliser la notation sigma d'écrire la somme de Riemann pour une courbe. Ceci est utile lorsque vous souhaitez obtenir la formule de l'aire sous la courbe approximative. Par exemple, disons que vous voulez trouver la superficie approximative de n rectangles droite entre X = 0 et X = 3 dans la fonction F (X) = X² + 1.

Par ailleurs, vous ne devez notation sigma pour le calcul qui suit. Il est juste une «commodité» - Oh, bien sûr. Croisez les doigts et espérons que votre enseignant décide de ne pas couvrir ce. Il devient assez noueux.

La règle milieu: Vous pouvez approcher la zone exacte sous une courbe entre un et b,

avec une somme de rectangles point milieu donné par la formule suivante. En général, les rectangles, la meilleure estimation.

où n est le nombre de rectangles,

est la largeur de chaque rectangle, X₀ par X_n sont les n + 1 points régulièrement espacés de un à b, et les valeurs de fonction sont les hauteurs des rectangles.

En appliquant la règle milieu de cet exemple, vous obtenez:

Voici la même formule écrite avec la notation sigma:

(Notez que vous pouvez écrire à la place que

qui serait plus bien refléter la formule ci-dessus où le

est à l'extérieur. Quoi qu'il en soit est très bien - ils sont équivalents -, mais vous pouvez choisir de garder le

à l'intérieur de sorte que la

est en fait une somme somme des rectangles. En d'autres termes, avec le

à l'intérieur, l'expression après le

symbole,

lequel à

symbole vous indique d'ajouter jusqu'à, est la zone de chaque rectangle, à savoir hauteur fois base.)

Maintenant nous en sortir pour les six rectangles droite dans la figure.

Vous comprendre l'aire sous X² + 1 entre X = 0 et X = 3 avec six rectangles, de sorte que la largeur de chacune,

Ensuite, parce que la largeur de chaque rectangle est

les bords droits des rectangles six tombent sur les six premiers multiples de

Ces chiffres sont le X-coordonne des six points X₁ par X₆- ils peuvent être générés par l'expression

où je est égal à 1 à 6. Vous pouvez vérifier que cela fonctionne en branchant 1 pour je dans

puis 2, puis 3, jusqu'à 6. Alors maintenant, vous pouvez remplacer les X_je dans la formule avec

vous donnant

La fonction dans cet exemple,

et maintenant vous pouvez écrire

Si vous branchez en 1 je, puis 2, puis 3, et ainsi de suite jusqu'à 6 et faites le calcul, vous obtenez la somme des aires des rectangles dans la figure. Cette notation sigma est juste une façon élégante de la rédaction de la somme des six rectangles.

Est-ce que vous vous amusez? Attendez, il ya pire - désolé. Maintenant, vous allez écrire sur la somme générale pour un nombre inconnu, n, rectangles de plein droit. La durée totale de la zone en question est 3, non? Vous divisez cette durée par le nombre de rectangles pour obtenir la largeur de chaque rectangle. Avec 6 rectangles, la largeur de chacune est

avec n rectangles, la largeur de chacune est

Et les bons bords de la n sont générés par des rectangles

pour je est égal à 1 par n. Cela vous donne

Ou, parce F (X) = X² + 1,

Pour cette dernière étape, vous tirez le

à travers les symboles de sommation - vous êtes autorisé à retirer quoi que ce soit, sauf pour une fonction de je, la dite Indice de sommation. En outre, la seconde sommation dans la dernière étape a seulement après une et pas je. Donc il n'y a nulle part où brancher les valeurs de je. Cette situation peut sembler un peu bizarre, mais tout ce que vous faites est d'ajouter jusqu'à n 1s, ce qui équivaut n (cela se fait suivant).

Vous avez maintenant arrivés à une étape critique. Avec un tour de main, vous allez faire de cette somme de Riemann dans une formule en termes de n.

Or, comme on ne sait pratiquement, la somme de la première n nombres carrés,

(En passant, ce 6 n'a rien à voir avec le fait que vous utilisez 6 rectangles.) Donc, vous pouvez remplacer cette expression pour le

dans la dernière ligne de la solution de notation sigma, et en même temps de remplacer n pour

La fin. Finalement! Ceci est la formule de l'aire de n rectangles droite entre X = 0 et X = 3 dans la fonction F (X) = X² + 1.