La définition de l'intégrale définie et comment il fonctionne

Vous pouvez approcher la surface sous une courbe en additionnant droite, à gauche, ou rectangles médianes. Pour trouver une zone exacte, vous devez utiliser une intégrale définie.

Lorsque vous rapprocher de la surface sous une courbe, les sommets des rectangles forment une forme de dent de scie qui ne correspond pas parfaitement le long de la fonction de courbe douce. Donc, pour trouver le exact aire sous une courbe en utilisant des rectangles, vous aurez besoin de trouver l'aire d'un nombre infini de rectangles infiniment minces dont “ en tête ” ne adapter parfaitement la courbe. Maintenant, vous ne pouvez pas vraiment utiliser un nombre infini de rectangles, mais avec l'invention fantastique de limites, cette est une sorte de ce qui se passe.

Voici la “ simples ” définition de l'intégrale définie qui est utilisé pour calculer les zones exactes. Il est basé sur la limite d'une somme de Riemann de rectangles de droite. La zone exacte sous une courbe entre un et b est donnée par la intégrale définie, qui est défini comme suit:

Lorsque le calcul d'une superficie approximative ou exacte sous une courbe, tous les trois sommes - gauche, à droite, et milieu - sont appelés sommes de Riemann après le grand mathématicien allemand GFB Riemann (1826-1866). Fondamentalement, toute somme composée de rectangles est une somme de Riemann, y compris les sommes bizarres, comprenant des rectangles de largeur inégale.

En utilisant cette formule, voici la zone exacte sous X² + 1 entre 0 et 3:

Ce résultat est assez étonnant si vous pensez à ce sujet. En utilisant le processus de limite, vous obtenez une exact réponse de 12 - qui est une sorte de 12,00000000 # 133- précise à un nombre infini de décimales - pour l'aire sous la, la fonction courbe douce, X² + 1, sur la base des zones de rectangles à sommet plat qui courent le long de la courbe dans un déchiquetée, de la mode en dents de scie.

Trouver la zone exacte de 12 en utilisant la limite d'une somme de Riemann est beaucoup de travail. Cette méthode complexe de l'intégration est comparable à la détermination d'un dérivé de la manière dure en utilisant la définition formelle qui est basé sur le quotient de différence. Et comme en utilisant le quotient de différence pour trouver un dérivé, vous ne pourrez pas utiliser la limite d'une somme de Riemann à calculer l'aire fois que vous apprenez la méthode de raccourci de la zone à trouver.

Vous venez de travailler sur l'aire sous X² + 1, en utilisant la formule de la somme des rectangles droite. (En passant, si vous allez pour calculer la zone à la dure en utilisant la limite d'une somme de Riemann, vous pourriez aussi bien toujours utiliser rectangles- droit, il est probablement le moyen le plus facile d'aller). Il se trouve, cependant, que vous auriez pu utiliser rectangles gauche ou rectangles médianes. En fait, vous auriez pu utiliser un mélange de différents types de rectangles (ne pas essayer à la maison). Peu importe quel type de rectangles que vous utilisez, la limite est toujours le même.

Cela vous amène à l'extrême totalement vers le bas et sale jumbo suivante, Mumbo d'intégration qui prend toutes ces possibilités en compte. Vous aurez probablement jamais utiliser la définition suivante de l'intégrale définie. Alors, pourquoi devriez-vous apprendre? Bonne question. Que diriez-vous à cause de la beauté des mathématiques pures? Ou, si vous ne l'achetez pas cela et ne sont intéressés par une raison pratique, à peu près la seule motivation pratique pour l'apprentissage de cette définition est qu'elle pourrait être à un examen.

L'intégrale définie (réel McCoy définition):