Comment la fonction de zone fonctionne

La fonction de zone est un peu bizarre. Préparez vous. Dites que vous avez une fonction ancienne, F(t). Imaginez que, à un t-valeur, appeler s, vous tracez une ligne verticale fixe. (Notez que parce que cette ligne est fixé, s est une constante, pas une variable.) Consultez la figure ci-dessous.

Ensuite, vous ajoutez une ligne verticale mobile (la ligne en pointillé sur la figure) à la t-valeur X. Vous commencez avec la ligne pointillée au s (“s” est pour départ le point), puis faites-la glisser vers la droite. Lorsque vous faites glisser la ligne, vous balayer une zone plus en plus grande sous la courbe entre s et X. Cette zone est une fonction de X, la position de la ligne de déplacement.

Dans les symboles, vous écrivez

La dt est un petit incrément le long de la t-axe - en fait un infiniment petit incrément.

Voici un exemple simple pour vous assurer que vous avez une poignée sur la façon dont la fonction de zone fonctionne. En passant, ne vous sentez pas mal si vous trouvez cela très difficile à saisir - vous avez beaucoup de compagnie. Disons que vous avez la fonction simple F(t) = 10 - qui est une ligne horizontale à y = 10. Si vous balayer la zone à partir de s = 3, vous obtenez la fonction de domaine suivant:

Vous pouvez voir que la zone balayée 3-4 est 10 parce que, en faisant glisser la ligne à partir de 3 à 4, vous balayez un rectangle avec une largeur de 1 et une hauteur de 10, qui a une superficie de 1 fois 10, ou 10. Voir la figure ci-dessous.

Maintenant, imaginez que vous faites glisser la ligne à travers à un taux d'un unité par seconde. Vous commencez à X = 3, et vous frappez 4 à 1 seconde, 5 à 2 secondes, 6 à 3 secondes, et ainsi de suite. Quelle superficie vous balayer par seconde? Dix unités carrés par seconde parce que chaque seconde que vous balayer un autre rectangle 1-par-10. Avis - ceci est énorme - que parce que la largeur de chaque rectangle vous balayer est 1, la surface de chaque rectangle - qui est donnée par hauteur fois largeur - est la même que sa hauteur en raison des temps de quoi que ce soit lui-même est égal à 1. Vous verrez pourquoi cela est énorme dans une minute.

Ok, vous êtes assis? Vous avez atteint l'un des grands Ah ha! des moments dans l'histoire des mathématiques. Rappelons que un dérivé est un taux. Ainsi, parce que la vitesse à laquelle la fonction de zone précédente pousse est de 10 unités carrés par seconde, vous pouvez dire son dérivé est égal à 10. Ainsi, vous pouvez écrire;

Maintenant, voici la chose essentielle: Notez que ce taux ou un dérivé de 10 est la même que la hauteur de la fonction d'origine F(t) = 10 parce que vous allez à travers une unité, vous balayez un rectangle qui est 1 par 10, qui a une superficie de 10, la hauteur de la fonction.

Cela fonctionne pour toute fonction, non seulement des lignes horizontales. La figure suivante montre la fonction g(t) Et sa fonction de zone

qui balaye la zone à partir de s = 2.

Vous pouvez voir que

est égal à 20 ou moins parce que la zone balayée entre 2 et 3 a une largeur de 1 et la partie supérieure incurvée de la “ rectangle ” a une hauteur moyenne d'environ 20. Ainsi, au cours de cet intervalle, le taux de croissance de

est d'environ 20 unités carrés par seconde. Entre 3 et 4, vous balayer environ 15 unités carrés de surface parce que est plus ou moins la hauteur moyenne des g(t) Compris entre 15 et 4. Ainsi, au cours du deuxième nombre de deux - l'intervalle de X = 3 à X = 4 - le taux de croissance de

est d'environ 15.

La taux de la zone étant balayé sous une courbe par une fonction de la zone à une donnée X-La valeur est égale à la hauteur de la courbe à ce que X-valeur.

Bien qu'il soit un peu lâche - dans la discussion de la figure ci-dessus - disant des choses comme “ environ ” et ce “ moyenne ” que, ne inquiétez pas quand vous faites le calcul, tout fonctionne. La chose importante à se concentrer sur est que le taux de la zone balayée sous une courbe est la même que la hauteur de la courbe.