Comment tracer une hyperbole

Penser à une hyperbole comme un mélange de deux paraboles - chacun une image miroir parfait de l'autre, chaque ouverture à une distance les uns des autres. Les sommets de ces paraboles sont une distance donnée, et ils ouvrent soit verticalement soit horizontalement.

La définition mathématique d'un hyperbole est l'ensemble de tous les points où la différence dans la distance entre deux points fixes (appelé le foyers) Est constante.

Il ya deux sortes d'hyperboles: horizontale et verticale.

L'équation pour une hyperbole horizontal est

L'équation pour une hyperbole vertical est

Notez que X et y changer de place (de même que le h et v avec eux) de nommer horizontale par rapport vertical, par rapport à des ellipses, mais un et b rester sur place. Donc, pour les hyperboles, un-carré devrait toujours venir en premier, mais il est pas nécessairement une plus grande. Plus précisément, un est toujours carré sous le terme positive (soit X-carré ou y-au carré). Fondamentalement, pour obtenir une hyperbole dans la forme standard, vous devez être sûr que le terme au carré est positif en premier.

Le centre d'une hyperbole est pas réellement sur la courbe elle-même, mais exactement entre les deux sommets de l'hyperbole. Tracer toujours le centre d'abord, puis de compter à partir du centre pour trouver les sommets, axes, et asymptotes. Une hyperbole a deux axes de symétrie. Celui qui passe par le centre et les deux foyers est appelé le axe transversal- celui qui est perpendiculaire à l'axe transversal passant par le centre est appelé le axe conjugués. Une hyperbole horizontale a son axe transversal y = v et son axe de conjugués à X = h- une hyperbole verticale a de son axe transversal au X = h et son axe de conjugués à y = v.

Vous pouvez voir les deux types d'hyperboles dans la figure ci-dessus: une hyperbole horizontale sur la gauche, et une verticale sur la droite.

Si l'hyperbole que vous essayez de graphique est pas sous forme standard, alors vous devez compléter le carré pour l'obtenir sous une forme standard.

Par exemple, l'équation

est une hyperbole verticale. Le centre (h, v) Est (-1, 3).

(ce qui signifie que vous comptez horizontalement 3 unités du centre à la fois vers la gauche et vers la droite). La distance du centre vers le bord du rectangle marqué “ un ” détermine moitié de la longueur de l'axe transversal, et la distance au bord du rectangle marqué “ b ” détermine l'axe conjugué. Dans une hyperbole, un pourrait être supérieur à, inférieur à, ou égal à b. Si vous comptez sur un unités du centre le long de l'axe transversal, et b unités du centre dans les deux directions le long de l'axe de conjugués, ces quatre points seront les milieux des côtés d'un rectangle très important. Ce rectangle a des côtés qui sont parallèles à la X- et y-axe (en d'autres termes, ne vous connecte pas les quatre points parce qu'ils sont les milieux des côtés, et non les coins du rectangle). Ce rectangle sera un guide utile quand il est temps pour représenter graphiquement l'hyperbole.

Mais comme vous pouvez le voir dans la figure ci-dessus, hyperboles contiennent d'autres éléments importants que vous devez considérer. Par exemple, une hyperbole a deux sommets. Il ya deux équations différentes - une pour horizontal et un pour hyperboles verticales:

• Une hyperbole horizontale a sommets à (h # 177- un, v).

• Une hyperbole vertical a sommets à (h, v # 177- un).

Les sommets pour l'exemple ci-dessus sont à (-1, 3 177- # 4) ou (-1, 7) et (-1, -1).

Vous trouverez les foyers de toute hyperbole en utilisant l'équation

où F est la distance du centre vers les foyers le long de l'axe transversal, le même axe que les sommets sont allumés. La distance F se déplace dans la même direction que un. Poursuivant cet exemple,

Pour nommer les foyers comme points dans une hyperbole horizontale, vous utilisez (h # 177- F, v) - De les nommer dans une hyperbole verticale, vous utilisez (h, v # 177- F). Les foyers dans l'exemple serait (-1, 3 177- # 5) ou (-1, 8) et (-1, -2). Notez que cela les place à l'intérieur de l'hyperbole.

Grâce au centre de l'hyperbole exécuter les asymptotes de l'hyperbole. Ces asymptotes aider à guider votre croquis des courbes parce que les courbes ne peuvent pas les traverser à tout point sur le graphique.

Pour tracer une hyperbole, suivez ces étapes simples:

1. Marquez le centre.

   Tenir à l'exemple hyperbole

   

   Vous trouvez que le centre de cette hyperbole est (-1, 3). Rappelez-vous de passer les signes des nombres à l'intérieur des parenthèses, et rappelez-vous aussi que h est à l'intérieur des parenthèses avec X, et v est à l'intérieur des parenthèses avec y. Pour cet exemple, la quantité de y-squared vient en premier, mais cela ne signifie pas que h et v changer de place. La h et v toujours rester fidèles à leurs variables respectives, X et y.

2. Du centre à l'étape 1, trouver le axes transversal et conjugués.

   Monter et descendre l'axe transversal sur une distance de 4 (car 4 est sous y), Et puis allez à droite et à gauche 3 (car 3 est sous X). Mais ne pas relier les points pour obtenir une ellipse! Jusqu'à maintenant, les étapes de l'élaboration d'une hyperbole étaient exactement les mêmes que lorsque vous avez dessiné une ellipse, mais voici où les choses deviennent différentes. Les points que vous avez marqués comme un (sur l'axe transversal) sont tes sommets.

3. Utilisez ces points pour dessiner un rectangle qui aidera à guider la forme de votre hyperbole.

   Parce que vous êtes allé et en baisse de 4, la hauteur de votre rectangle est 8- allez à gauche et à droite 3 vous donne une largeur de 6.

4. Tracez des lignes diagonales à travers le centre et les coins du rectangle qui dépassent le rectangle.

   Cela vous donne deux lignes qui seront vos asymptotes.

5. Esquisser les courbes.

   

   Dessiner les courbes, en commençant à chaque sommet séparément, qui épousent les asymptotes le plus loin des sommets de la courbe reçoit.

   Le graphique se rapproche des asymptotes mais ne les touche jamais fait. La figure ci-dessus montre l'hyperbole fini.