Comment ajouter des vecteurs ensemble

Vous êtes souvent invité à ajouter des vecteurs lors de la résolution des problèmes de physique. Pour ajouter deux vecteurs, vous les placez la tête à la queue, puis trouver la longueur et l'ampleur du résultat. L'ordre dans lequel vous ajoutez les deux vecteurs n'a pas d'importance.

Par exemple, supposons que vous vous dirigez vers la grande convention de la physique et avez dit que vous alliez 20 miles au nord et 20 miles à l'est pour y arriver. À quel angle est le centre des congrès à partir de votre emplacement actuel, et à quelle distance est-il?

Vous pouvez écrire ces deux vecteurs de ce genre (où l'Est est le long de la positifs X axe):

(0, 20)

(20, 0)

Dans ce cas, vous devez ajouter ces deux vecteurs, et vous pouvez le faire en ajoutant simplement leur X et y composants séparément:

Faites le calcul, et votre vecteur résultant est (20, 20). Vous venez de terminer une addition vectorielle. Mais la question demande pour le vecteur en termes grandeur / angle, pas la coordination des termes. Alors, quelle est l'ampleur du vecteur de vous à la convention de la physique? Vous pouvez voir la situation dans la figure ci-dessous, où vous avez X et y et que vous voulez trouver v.

Trouver v est pas si difficile parce que vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore:

Branchez les chiffres pour obtenir

Donc, la convention est de 28,3 miles. Qu'en est-il de l'angle thêta? Tu sais

thêta = tan^-1(y/X) = Tan^-1(20/20) = 45 degrés

Et voilà - vous savez maintenant que la convention est de 28,3 miles à un angle de 45 degrés.

Exemple de question

1. Ajouter les deux vecteurs dans la figure suivante. On a un de magnitude 5,0 et angle de 45 degrés, et l'autre a une magnitude de 7,0 et l'angle de 35 degrés.

   

   La bonne réponse est magnitude 12,0, l'angle de 39 degrés.

1. Résoudre les deux vecteurs en leurs composants. Pour le premier vecteur, appliquer l'équation v_X = v cos theta pour trouver le X coordonner. Voilà 5.0 cos 45 degrés = 3,5.

2. Appliquer l'équation v_y = v sin theta pour trouver le y coordonner du premier vecteur. Voilà le péché 5.0 45 degrés, soit 3,5. Donc, le premier vecteur est (3.5, 3.5) sous forme de coordonnées.

3. Pour le second vecteur, appliquer l'équation v_X = v cos theta pour trouver le X coordonner. Voilà 7,0 cos 35 degrés = 5,7.

4. Appliquer l'équation v_y = v sin theta pour trouver le y de coordonnées de la deuxième vecteur. Voilà 7,0 péché 35 degrés = 4,0. Donc, le deuxième vecteur est (5.7, 4.0) sous forme de coordonnées.

5. Pour ajouter les deux vecteurs, ajoutez-les en forme de coordonnées: (3.5, 3.5) + (5.7, 4.0) = (9.2, 7.5).

6. Autre (9.2, 7.5) en forme amplitude / angle. Appliquer le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle, qui est tan^-1(7.5 / 9.2) = tan^-1(0,82) = 39 degrés.

7. 
   
   
   
   

   Appliquer l'équation

   

   pour trouver la grandeur, ce qui est

   

   Conversion à deux chiffres significatifs vous donne 12.

Questions pratiques

1. Ajouter un vecteur dont l'amplitude est de 13,0 et l'angle est de 27 degrés à celui dont la magnitude est de 11,0 et l'angle est de 45 degrés.

2. Ajouter un vecteur dont l'amplitude est de 16,0 et l'angle est de 56 degrés par rapport à celui dont la magnitude est de 10,0 et l'angle est de 25 degrés.

3. Ajouter deux vecteurs: un vecteur a une magnitude 22,0 et de l'angle de 19 degrés, et le vecteur de deux a une magnitude 19,0 et un angle de 48 degrés.

4. Ajouter un vecteur dont l'amplitude est de 10,0 et l'angle est de 257 degrés par rapport à celui dont la magnitude est de 11,0 et l'angle est de 105 degrés.

Voici les réponses aux questions pratiques:

1. Magnitude 23.7, angle de 35 degrés

1. Pour le premier vecteur, utiliser l'équation v_X = v cos theta pour trouver le X coordonner: 13.0 x cos 27 degrés = 11,6.

2. Utilisez l'équation v_y = v sin theta pour trouver le y coordonnées du premier vecteur: 13,0 x sin 27 degrés, ou 5,90. Donc, le premier vecteur est (11,6, 5,90) sous forme de coordonnées.

3. Pour le second vecteur, utiliser l'équation v_X = v cos theta pour trouver le X coordonner: 11.0 x cos 45 degrés = 7,78.

4. Utilisez l'équation v_y = v sin theta pour trouver le y coordonnées de la deuxième vecteur: 11,0 x sin 45 ° = 7,78. Donc, le deuxième vecteur est (7,78, 7,78) sous forme de coordonnées.

5. Ajouter les deux vecteurs de coordonner forme: (11.6, 5.90) ​​+ (7,78, 7,78) = (19,4, 13,7).

6. Autre (19.4, 13.7) en forme amplitude / angle. Utilisez le thêta équation = tan^-1(y/X) Pour trouver l'angle: tan^-1(13,7 / 19,4) = tan^-1(0,71) = 35 degrés.

7. Appliquer l'équation

   

   pour trouver la grandeur, ce qui est

   

Appliquer l'équation

pour trouver la grandeur, ce qui est

Appliquer l'équation

pour trouver la grandeur, ce qui est

Appliquer l'équation

pour trouver la grandeur, ce qui est