Comment trouver l'angle et de l'ampleur d'un vecteur

En physique, parfois, vous devez trouver l'angle et de l'ampleur d'un vecteur plutôt que les composants. Pour trouver de l'ampleur, vous utilisez le théorème de Pythagore. Et pour trouver

vous utilisez la fonction inverse de la tangente (ou inverse du sinus ou cosinus).

Par exemple, supposons que vous êtes à la recherche d'un hôtel qui est 20 miles à l'est, puis 20 miles au nord. À partir de votre emplacement actuel, quel est l'angle (mesurée à partir de l'est) de la direction de l'hôtel, et à quelle distance est l'hôtel? Vous pouvez écrire ce problème dans la notation de vecteur, comme ceci:

Etape 1: (20, 0)

Étape 2: (0, 20)

Lors de l'ajout de ces vecteurs ensemble, vous obtenez ce résultat:

(20, 0) + (0, 20) = (20, 20)

Le vecteur résultant est (20, 20). Voilà une façon de spécifier un vecteur - utiliser ses composants. Mais ce problème ne demande pas les résultats en termes de composants. La question veut savoir l'angle et la distance de l'hôtel.

En d'autres termes, en regardant la figure ci-dessus, le problème demande,

Si vous connaissez les composants verticaux et horizontaux d'un vecteur, de trouver la magnitude du vecteur est pas si difficile parce que vous avez juste besoin de trouver l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore (X² + y² = h²), Pour résoudre h:

Brancher les chiffres que vous donne

Gardez à l'esprit que lorsque vous connaissez les composantes horizontale et verticale d'un vecteur, vous pouvez utiliser la tangente à trouver l'angle parce

Tout ce que vous avez à faire est de prendre la tangente inverse de y/X:

Supposons que vous conduisez 20 miles à l'est et à 20 miles au nord. Voici comment vous trouvez

l'angle entre votre position d'origine et votre dernière un:

Donc, l'hôtel est à environ 28 miles à un angle de 45 degrés.

Soyez prudent lorsque vous faites des calculs avec des tangentes inverses, parce angles qui diffèrent de 180 degrés ont la même tangente. Lorsque vous prenez la tangente inverse, vous pourriez avoir besoin d'ajouter ou de soustraire 180 degrés pour obtenir l'angle réel que vous voulez. Le bouton de tangente inverse sur votre calculatrice vous donnera toujours un angle compris entre 90 degrés et -90 degrés. Si votre angle est pas dans cette fourchette, alors vous devez ajouter ou soustraire 180 degrés.

Pour cet exemple, la réponse de 45 degrés doit être correcte. Mais envisager une situation dans laquelle vous aurez besoin d'ajouter ou de soustraire 180 degrés: Supposons que vous marchez dans la direction complètement opposée à l'hôtel. Vous marchez 20 miles à l'ouest et à 20 miles au sud (X = -20 Miles, y = -20 Miles), donc si vous utilisez la même méthode pour travailler sur l'angle, vous obtenez le résultat suivant:

Vous obtenez la même réponse pour l'angle même si vous êtes à pied dans la direction opposée complètement comme avant! Voilà parce que les tangentes des angles qui diffèrent de 180 degrés sont égaux. Mais si vous regardez les composantes du vecteur (X = -20 Miles, y = -20 Miles), ils sont tous deux négatifs, donc l'angle doit être comprise entre -90 degrés et -180 degrés. Si vous soustrayez 180 degrés de votre réponse de 45 degrés, vous obtenez -135 degrés, ce qui est votre angle réelle mesurée à partir de l'axe des x-positif dans le sens horaire.

Alternativement, vous pourriez raison que depuis les composantes du vecteur sont tous deux négatifs, vous devez avoir entre 180 degrés et 270 degrés. Vous pouvez ensuite ajouter 180 degrés à votre résultat et obtenir 225 degrés, ce qui serait mesurée à partir de l'axe des x positif dans le sens anti-horaire.

Donc, angle qui est exact, 225 degrés ou -135 degrés? Les deux! Que vous vous déplacez dans le sens antihoraire 225 degrés dans le sens horaire ou 135 degrés de l'axe des x positifs, vous vous retrouvez à la tête du même direction.