Comment trouver les valeurs et vecteurs propres pour hamiltoniens dégénérés
Utilisation de la physique quantique, vous pouvez déterminer la F valeurs et vecteurs propres correspondants pour les systèmes dans lesquels les énergies sont dégénérés. Jetez un oeil à cette hamiltonien non perturbé:
En d'autres termes, plusieurs Etats ont la même énergie. Disent les états d'énergie sont F-pliez dégénéré, comme ceci:
Comment cela affecte l'image de perturbation? L'hamiltonien complet, H, est constituée de la, hamiltonien non perturbé original, H0, et l'hamiltonien de perturbation,
En ordre zéro rapprochement, vous pouvez écrire la fonction propre
comme une combinaison des états dégénérés
Notez que dans ce qui suit, vous supposez que
si m est pas égal à n. Aussi, vous supposez que la
sont normalisées - à savoir,
Brancher cette équation d'ordre zéro dans l'équation hamiltonien complet, vous obtenez
Maintenant multipliant cette équation par
te donne
En utilisant le fait que
si m est pas égal à n te donne
Les physiciens écrivent souvent que l'équation que
où
Et les gens écrivent également que équation
où E(1)n E =n - E(0)n. Voilà un système d'équations linéaires, et la solution existe uniquement lorsque le facteur déterminant à ce tableau est non nulle:
Le facteur déterminant de ce tableau est un Féquation de degré e en E(1)n, et il a F des racines différentes,
Ceux F différentes racines sont les corrections de premier ordre à l'hamiltonien. Habituellement, ces racines sont différentes en raison de la perturbation appliquée. En d'autres termes, la perturbation généralement se débarrasse de la dégénérescence.
Alors, voici la façon dont vous trouverez les valeurs propres à la première commande - vous configurez un F-sous-F matrice de l'hamiltonien de perturbation,
Puis diagonaliser cette matrice et déterminer la F valeurs propres
et les vecteurs propres correspondants:
Ensuite, vous obtenez les valeurs propres de l'énergie au premier ordre de cette façon:
Et les vecteurs propres sont
-
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