Comment trouver le volume d'une forme cylindrique avec la méthode de l'intégration imbriqués-russe-dolls
Intégration vous permet de calculer les volumes d'une variété infinie de formes compliquées que vous ne pouvez pas traiter avec la géométrie régulière. Vous pouvez couper un solide en fines cylindres concentriques, puis ajouter les volumes de tous les cylindres. Il est un peu comme la façon dont ces poupées russes emboîtées adapter à l'intérieur de l'autre. Ou imaginer une boîte de soupe qui a en quelque sorte nombreuses étiquettes en papier, chacun couvrant une en dessous. Ou imaginer un de ces vêtements-de linters de With les papiers collants vous décoller. Chaque soupe peut étiqueter ou un morceau de papier collant est une coque cylindrique - avant que vous l'arrachez, bien sûr. Après vous l'arrachez, il est un rectangle ordinaire.
Voici un problème: Un solide est générée en prenant la zone délimitée par le X-axe,
puis il renouvelable sur le y-axe. La figure ci-dessous montre l'idée. La zone grise lumière est la forme qui a été tourné sur le y-axe pour créer l'ensemble du solide 3D.
Quel est le volume?
Déterminer l'aire d'une coque cylindrique représentant.
Lorsque imaginant une coquille représentant, se concentrer sur une coque qui se trouve dans aucun endroit en particulier. La figure montre une telle coquille générique. Son rayon est inconnue, X, et sa hauteur est la hauteur de la courbe à X, à savoir e à la puissance de X. Si, à la place, vous utilisez un shell spéciale comme le plus externe coquille avec un rayon de 3, vous êtes plus susceptible de faire l'erreur de penser qu'un obus représentant a quelques-uns connu rayon comme 3 ou un connu hauteur comme e à la puissance 3. Tant le rayon et la hauteur sont inconnu.
Chaque coquille représentant, comme la soupe peut étiqueter ou de la feuille d'un collant de-linter, est juste un rectangle dont la surface est, bien sûr, longueur fois largeur.
Alors maintenant, vous avez la formule générale pour la région d'une enveloppe représentant:
Multiplier la surface par l'épaisseur de la coquille, dx, pour obtenir son volume.
Additionner les volumes de toutes les coquilles de 2 à 3 par l'intégration.
Avec coques cylindriques, il est pas toujours clair ce que les limites de l'intégration devraient être. Voici un conseil. Vous intégrez de la droit bord du plus petit cylindre au droit bord du plus grand cylindre. Et notez que vous ne intégrer du bord gauche vers le bord droit de la plus grande cylindre (comme -3 à 3).
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