Comment trouver le volume d'un solide entre deux surfaces de révolution
Si vous voulez trouver le volume d'un solide qui se situe entre deux surfaces différentes de la révolution, vous pouvez utiliser la méthode de viande trancheuse pour ce faire. La méthode de viande trancheuse qui fonctionne le mieux avec des solides qui ont des sections transversales similaires. Voici le plan:
Trouver une expression qui représente la surface d'une coupe transversale aléatoire du solide en termes de X.
Utilisez cette expression pour construire une intégrale définie (en termes de dx) Qui représente le volume du solide.
Évaluer cette intégrale.
L'astuce consiste à trouver un moyen de décrire la zone en forme de beignet d'une section transversale comme la différence entre deux intégrales: l'une intégrale qui décrit la forme entière moins une autre qui décrit le trou.
Par exemple, supposons que vous voulez trouver le volume du solide illustré ici.
Cette apparence solides quelque chose comme un bol tourné sur le côté. Le bord extérieur est le solide de révolution autour de la X-axe pour la fonction
Le bord intérieur est le solide de révolution autour de la X-axe pour la fonction
Voici comment faire pour résoudre ce problème:
Trouver une expression qui représente la surface d'une coupe transversale aléatoire du solide.
Autrement dit, trouver la surface d'un cercle avec un rayon de
et soustraire la surface d'un cercle avec un rayon de
Utiliser cette expression pour construire une intégrale définie qui représente le volume du solide.
Les limites de l'intégration sont 0 et 4:
Résolvez l'intégrale:
Maintenant évaluer cette expression:
Voici un autre problème: trouver le volume du solide illustré ici.
Ce solide chutes entre la surface de révolution y = Ln X et la surface de révolution
minorée par y = 0 et au-dessus par y = 1.
La section de ce solide est affiché sur la droite, du côté droit de la figure: un cercle avec un trou au milieu.
Notez, cependant, que cette section transversale est perpendiculaire à la y-axe. Pour utiliser la méthode de viande trancheuse, la section doit être perpendiculaire à la X-axe. Modifier le problème en utilisant inverses:
Le problème résultant est représenté sur cette figure.
Maintenant, vous pouvez utiliser la méthode de viande trancheuse pour résoudre le problème:
Trouver une expression qui représente la surface d'une coupe transversale aléatoire du solide.
Autrement dit, trouver la surface d'un cercle avec un rayon de eX et soustraire la surface d'un cercle avec un rayon de
Ceci est juste géométrie. Rappelez-vous que l'aire d'un cercle est # 960-r2:
Utiliser cette expression pour construire une intégrale définie qui représente le volume du solide.
Les limites de l'intégration sont 0 et 1:
Évaluer l'intégrale:
Ainsi, le volume de ce solide est d'environ 9,179 unités cubes.
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