Intégrer une fonction en utilisant le cas sine
Lorsque la fonction vous intégrez comprend un terme de la forme (un2 - bx2)n, attirer votre trig substitution triangle pour le cas sine. Par exemple, supposons que vous voulez évaluer l'intégrale suivante:
Ceci est une affaire sine, car une constante moins un multiple de X2 est en cours élevé à une puissance
Voici comment vous utilisez la substitution trig pour gérer le travail:
Dessinez le triangle de substitution trigonométrique pour le cas correct.
Ce chiffre vous montre comment remplir le triangle pour le cas sine. Notez que le radical va sur le adjacent côté du triangle. Ensuite, pour remplir les deux autres côtés du triangle, vous utilisez les racines carrées des deux termes à l'intérieur du radical - qui est, 2 et X. Place 2 sur l'hypoténuse et X sur le côté opposé.
Vous pouvez vérifier pour vous assurer que ce placement est correct en utilisant le théorème de Pythagore:
Identifier les pièces séparées de l'intégrale (y compris dx) Que vous avez besoin d'exprimer en termes de thêta.
Dans ce cas, la fonction contient deux pièces séparées qui contiennent X:
Exprimez ces pièces en termes de fonctions trigonométriques de thêta.
Ceci est le véritable travail de trig substitution, mais quand votre triangle est correctement configuré, ce travail devient beaucoup plus facile. Dans le cas sine, tous fonctions trigonométriques devraient être sinus et cosinus.
Pour représenter la partie radicale en fonction trigonométrique de thêta, d'abord construire une fraction en utilisant le radical
comme numérateur et la constante 2 en tant que dénominateur. Ensuite, réglez cette fraction égale à la fonction trig appropriée:
Étant donné que le numérateur est le côté adjacent du triangle et le dénominateur est l'hypoténuse
cette fraction est égale à
Maintenant un peu de l'algèbre obtient le radical seul sur un côté de l'équation:
Ensuite, vous voulez exprimer dx en fonction trigonométrique de thêta. Pour ce faire, construire une autre fraction avec la variable X au numérateur et de la constante 2 dans le dénominateur. Ensuite, réglez cette fraction égale à la fonction trig correcte:
Cette fois, le numérateur est le côté opposé du triangle, et le dénominateur est l'hypoténuse
si cette fraction est égale à
Maintenant résoudre pour X puis différencier:
Réécrire l'intégrale en termes de thêta et l'évaluer:
Pour changer ces deux termes en thêta X termes, la réutilisation de l'équation suivante:
Alors, voici une substitution qui vous donne une réponse:
Cette réponse est parfaitement valide si, techniquement parlant, vous pouvez vous arrêter ici. Cependant, certains professeurs désapprouvent l'imbrication des trig et fonctions trigonométriques inverses, donc ils vont préfèrent une version simplifiée de
Pour le trouver, commencez par appliquer la formule sine double angle
Maintenant utiliser votre substitution trigonométrique triangle pour substituer des valeurs pour
en terme de X:
Pour finir, de remplacer cette expression pour ce second terme problématique pour obtenir la réponse finale dans une forme simplifiée:
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