Comment résoudre une équation trigonométrique qui a des fonctions trigonométriques multiples

Quelques équations trigonométriques contiennent plus d'une fonction trig. D'autres ont des mélanges de plusieurs angles et les angles simples avec la même variable. Quelques exemples de ces équations comprennent 3cos² X = Sin² X, 2sec X = Tan X + lit d'enfant X, cos 2X + cos X + 1 = 0, et le péché X cos X = 2.1.

Pour obtenir ces équations dans des formes plus gérables de sorte que vous pouvez utiliser l'affacturage ou une autre méthode pour les résoudre, vous utilisez des identités pour remplacer une partie ou toutes les conditions. Par exemple, pour résoudre 3cos² X = Sin² X pour tous les angles compris entre 0 et 2PI, appliquer une identité de Pythagore.

1. Remplacer le péché terme² X avec son équivalent de l'identité de Pythagore, le péché² X + cos² X = 1 ou le péché² X = 1 - cos² X.

   3cos² X = 1 - cos² X

2. Ajouter cos² X de chaque côté et de simplifier en divisant.

   

3. Prendre la racine carrée de chaque côté.

   

4. Résoudre pour les valeurs de X qui satisfont l'équation.

   

Dans l'exemple suivant, vous commencez avec trois fonctions trigonométriques différents. Une bonne tactique est de remplacer chaque fonction en utilisant soit une identité de rapport ou d'une identité réciproque. L'utilisation de ces identités crée fractions et fractions nécessite dénominateurs communs.

Par ailleurs, ayant des fractions dans les équations Trig est bien, parce que les produits qui résultent de la multiplication et de faire des fractions équivalentes sont généralement des pièces d'identités que vous pouvez ensuite remplacer pour rendre l'expression beaucoup plus simple. Résolvez 2sec X = Tan X + lit d'enfant X pour toutes les solutions possibles en degrés.

1. Remplacer chaque terme avec son identité réciproque ou rapport respectif.

   

2. Réécrire les fractions avec le péché de dénominateur commun X cos X.

   Multipliez chaque terme par une fraction égale à 1, soit avec sinus ou un cosinus à la fois dans le numérateur et le dénominateur.

   

3. Ajouter les deux fractions sur la droite. Puis, en utilisant l'identité de Pythagore, remplacer le nouveau numérateur avec 1.

   
4. 
   
   
   
   

   Réglez l'équation égale à 0 en soustrayant le bon terme de chaque côté.

   

5. Maintenant, placez le numérateur égal à 0.

   

   Si le numérateur est égal à 0, alors l'ensemble fraction est égale à 0. Le dénominateur ne doit pas être égal à 0 - ne existe pas un tel nombre.

6. Résoudre pour les valeurs de X qui satisfont l'équation originale.

   

Dans l'exemple suivant, deux angles différents sont en jeu. Un angle est deux fois la taille de l'autre, de sorte que vous utiliser une identité d'angle double pour réduire les termes de fonctions d'un seul angle. L'astuce est de choisir la bonne version de l'identité angle double cosinus.

Résoudre cos 2X + cos X + 1 = 0 à X entre 0 et 2# 112-.

1. Remplacer cos 2X avec 2cos² X - 1.

   2cos²X - 1 + cos X + 1 = 0

   Cette version de la double identité angle cosinus est préférable parce que l'autre fonction trig dans l'équation a déjà un cosinus en elle.

2. Simplifier l'équation. Puis factoriser cos X.

   

3. Réglez chaque facteur égal à 0.

   

4. Résoudre pour les valeurs de X qui satisfont l'équation originale.

   

Ce dernier exemple peut être trompeusement simple. Le hic est que vous avez de reconnaître une double identité angle initial et faire un switch rapide.

1. Utilisez l'identité angle double sine pour créer une substitution de l'expression sur la gauche.

   En partant avec l'identité et en multipliant chaque côté par 1/2, vous obtenez

   

2. Remplacer l'expression sur la gauche de l'équation originale avec son équivalent de la double identité angle.

   

3. Multiplier chaque terme de l'équation par deux.

   

4. Réécrire l'expression comme une fonction inverse.

   2X = Sin^-1(1)

5. Déterminer quels angles sein deux rotations satisfont l'expression.

   2X = Sin^-1(1) = 90 # 176-, 450 # 176;

   Vous utilisez deux rotations parce que le coefficient de X est deux.

6. Diviser chaque terme par 2.

   

   Notez que les angles obtenus sont compris entre 0 et 360 degrés.

Vous pouvez généraliser la technique du double angle de l'exemple ci-dessus pour d'autres expressions multiples angles.