Intégrer une fonction en utilisant le cas tangent
Lorsque la fonction vous intégrez comprend un terme de la forme (un2 + X2)n, attirer votre trigonométrie substitution triangle pour le cas de la tangente. Par exemple, supposons que vous voulez évaluer l'intégrale suivante:
Ceci est un cas tangent, car une constante plus un multiple de X2 est en cours élevé à une puissance (-2). Voici comment vous utilisez trig substitution à intégrer:
Dessinez le triangle de substitution trigonométrique pour le cas de la tangente.
La figure vous montre comment remplir le triangle pour le cas de la tangente. Notez que le radical de ce qui est à l'intérieur des parenthèses va sur le hypoténuse du triangle. Ensuite, pour remplir les deux autres côtés du triangle, en utilisant la racine carrée de deux termes à l'intérieur du radical - qui est, 2 et 3X. Placez le terme constant 2 sur le côté adjacent et le terme variable de 3X sur le côté opposé.
Avec le cas tangent, assurez-vous de ne pas mélanger votre placement de la variable et la constante.
Identifier les pièces séparées de l'intégrale (y compris dx) Que vous avez besoin d'exprimer en termes de thêta.
Dans ce cas, la fonction contient deux pièces séparées qui contiennent X:
Exprimez ces pièces en termes de fonctions trigonométriques de thêta.
Dans le cas de la tangente, tous des fonctions trigonométriques doivent être initialement exprimés sous forme de tangentes et sécantes.
Pour représenter la partie rationnelle en fonction trigonométrique de thêta, construire une fraction en utilisant le radical
comme numérateur et la constante 2 en tant que dénominateur. Ensuite, réglez cette fraction égale à la fonction trig appropriée:
Parce que cette fraction est l'hypoténuse du triangle sur le côté adjacent
il est égal à
Maintenant utiliser l'algèbre et trig identités pour peaufiner cette équation en forme:
Ensuite, exprimer dx en fonction trigonométrique de thêta. Pour ce faire, construire une autre fraction avec la variable 3X au numérateur et de la constante 2 dans le dénominateur:
Cette fois, la fraction est le côté opposé du triangle sur le côté adjacent
si elle est égale à
Maintenant résoudre pour X puis différencier:
Exprimez l'intégrale en termes de thêta et l'évaluer:
Maintenant, certains d'annulation et de réorganisation transforme ce méchant prospectifs intégrante en quelque chose de gérable:
À ce stade, vous pouvez évaluer cette intégrale:
Alors, voici la substitution:
Et voici la primitive:
Changez les deux termes thêta retour dans X Conditions:
Vous devez trouver un moyen d'exprimer en termes de thêta X. Voici la façon la plus simple:
Alors, voici une substitution qui vous donne une réponse:
Cette réponse est valable, mais la plupart des professeurs ne sera pas fou de ce second terme laid, avec le sinus d'un arctangente. Pour simplifier, appliquer la formule sine double angle
Maintenant utiliser votre substitution trigonométrique triangle pour substituer des valeurs pour
en terme de X:
Enfin, utiliser ce résultat pour exprimer la réponse en termes de X:
-
Premiers pas avec les identités trigonométriques -
Comment calculer un angle en utilisant les fonctions trigonométriques inverses -
Comment calculer la tangente d'un angle -
Comment intégrer les puissances impaires de sinus et cosinus -
Comment résoudre intégrales avec la substitution de variable -
Comment utiliser la substitution sine à intégrer
Comment utiliser Sohcahtoa pour trouver les fonctions trigonométriques d'un triangle rectangle L'étude de la trigonométrie commence avec le triangle de droite. Les trois principales fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) et leurs inverses (cosecant, sécantes, et cotangente) tout ce que vous disent quelque chose sur les…
Comment utiliser la substitution de la tangente à intégrer Avec la méthode de substitution trigonométrique, vous pouvez faire intégrales contenant des radicaux des formes suivantes:où un est une constante et u est une expression contenant X.Vous allez adorer cette technique # 133- peu près autant que…
Comment utiliser la substitution trig à intégrer Avec la méthode de substitution trigonométrique, vous pouvez faire intégrales contenant des radicaux des formes suivantes (donnée un est une constante et u est une expression contenant X):Vous allez adorer cette technique ... à peu près autant…
Comment utiliser la substitution trig à intégrer les radicaux de la forme sinusoïdale Avant de lire cet article, vous devriez vérifier la discussion de substitution trigonométrique dans l'article compagnon, “ Comment utiliser Trig Remplacement d'intégrer ”.Avec la méthode de substitution trigonométrique, vous pouvez…
Intégrer une fonction en utilisant le cas sécant Lorsque la fonction que vous intégrez comprend un terme de la forme (bx2 - un2)n, attirer votre trig substitution triangle pour le cas sécant. Par exemple, supposons que vous voulez évaluer cette intégrale:Ceci est un cas sécant, car un…
Intégrer une fonction en utilisant le cas sine Lorsque la fonction vous intégrez comprend un terme de la forme (un2 - bx2)n, attirer votre trig substitution triangle pour le cas sine. Par exemple, supposons que vous voulez évaluer l'intégrale suivante:Ceci est une affaire sine, car une…
Intégrer pouvoirs de cotangentes et cosécantes Vous pouvez intégrer pouvoirs de cotangentes et cosécantes similaires à la façon dont vous faites tangentes et sécantes. Par exemple, voici comment cot intégrer8 X csc6 X:Décoller un csc2 X et le placer à côté de la dx:Utilisez le + lit…
Travailler avec des rapports trigonométriques sur le plan de coordonnées Pour mettre les angles sur le plan de coordonnées, essentiellement tout ce que vous faire est de regarder les rapports trigonométriques en termes de X et y plutôt que des valeurs opposées, adjacentes, et hypoténuse. Redéfinir ces ratios pour…
Sine express en termes de cosinus Même si chaque fonction de la trigonométrie est parfaitement merveilleux, être en mesure d'exprimer chaque fonction trig en termes de l'un des cinq autres fonctions trigonométriques est souvent à votre avantage. Par exemple, vous pouvez avoir…
Sine express en termes de sécante ou cosécante Même si chaque fonction trig est parfaitement merveilleux, être en mesure d'exprimer chaque fonction trig en termes de l'un des cinq autres fonctions trigonométriques est souvent à votre avantage. Par exemple, vous pouvez avoir certains termes…
Sine express en termes de cotangente Même si chaque fonction de la trigonométrie est parfaitement merveilleux, être en mesure d'exprimer chaque fonction trig en termes de l'un des cinq autres fonctions trigonométriques est souvent à votre avantage. Par exemple, vous pouvez avoir…
Sine express en termes de tangente Même si chaque fonction de la trigonométrie est parfaitement merveilleux, être en mesure d'exprimer chaque fonction trig en termes de l'un des cinq autres fonctions trigonométriques est souvent à votre avantage. Par exemple, vous pouvez avoir…
Tangent et identités sécantes sur un cercle unité A partir de l'identité de Pythagore, le péché2thêta- + cos2thêta- = 1, vous pouvez dériver tangente et les identités de Pythagore sécantes. Tout ce que vous faites est de lancer dans un peu d'algèbre et appliquer les identités réciproques…
La fonction cosinus: adjacente sur l'hypoténuse La fonction trig cosinus, abrégé cos, travaille en formant ce rapport: adjacente / hypoténuse. Dans la figure, vous voyez que les cosinus des deux angles sont comme suit:La situation avec les rapports est la même que pour la fonction sinus - les…