Comment trouver les fonctions propres de L2 en coordonnées sphériques
Votre instructeur physique quantique peut vous demander de trouver les fonctions propres de L2 en coordonnées sphériques. Pour ce faire, vous commencez avec la fonction propre de
étant donné que dans coordonnées sphériques, la L2 opérateur ressemble à ceci:
Cela est tout à fait un opérateur. Et, étant donné que
vous pouvez appliquer la L2 opérateur à
qui vous donne ce qui suit:
Et parce que
cette équation devient
Wow, qu'est-ce que vous avez embarqué? Annulation termes et en soustrayant le droit; côté de la gauche vous donne enfin cette équation différentielle:
Combiner les termes et en divisant par
vous donne ce qui suit:
Holy Cow! N'y at-il quelqu'un qui a essayé de résoudre ce genre de l'équation différentielle avant? Oui il y a. Cette équation est une équation différentielle Legendre, et les solutions sont bien connues. (! Ouf) En général, les solutions prennent cette forme:
où
est le Fonction Legendre.
Alors, quelles sont les fonctions de Legendre? Vous pouvez commencer par séparer le m la dépendance, qui fonctionne de cette façon avec les fonctions de Legendre:
où Pl(X) Est appelé un Polynôme de Legendre et est donnée par la formule Rodrigues:
Vous pouvez utiliser cette équation pour calculer les premiers polynômes de Legendre comme ceci:
et ainsi de suite. Voilà ce que les quelques premiers Pl (XPolynômes) ressemblent. Alors qu'est-ce que les fonctions de Legendre associées, PLM (X) ressembler? Vous pouvez également les calculer. Vous pouvez commencer avec Pl0 (X), Où m = 0. Ce sont facile parce que Pl0 (X) = Pl (X), ainsi
En outre, vous pouvez constater que
Ces équations vous donnent un aperçu de ce que le PLM fonctions ressemblent, ce qui signifie que vous avez presque terminé. Comme vous vous en souviendrez,
est en relation avec le PLM fonctions comme ceci:
Et maintenant vous savez ce que le PLM fonctions ressemblent, mais qu'est-ce que CLM, les constantes, ressembler? Dès que vous avez ceux, vous aurez les fonctions propres complets de moment angulaire,
Vous pouvez aller sur le calcul des constantes CLM la façon dont vous calculez toujours ces constantes d'intégration dans la physique quantique - vous normaliser les fonctions propres à 1.
qui ressemble à ceci:
(Rappelez-vous que le symbole astérisque désigne le complexe conjugué. Un conjugué complexe retourne le signe reliant les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe).
Substituer les trois quantités suivantes dans cette équation:
Vous obtenez le résultat suivant:
si cela devient
Vous pouvez évaluer l'intégrale à ceci:
Donc, en d'autres termes:
Ce qui signifie que
qui est la fonction propre de moment angulaire en coordonnées sphériques, est
Les fonctions fournies par cette équation sont appelés harmoniques sphériques normalisées. Voici ce que les premières harmoniques sphériques normalisées ressemblent:
En fait, vous pouvez utiliser ces relations pour convertir les harmoniques sphériques en coordonnées rectangulaires:
En substituant ces équations en
vous donne les harmoniques sphériques en coordonnées rectangulaires:
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